完備距離空間の性質들
特性
$(X,d)$が距離空間で、$K \subset X$とする。
説明
完備距離空間は完備性を持つ距離空間として、普通に想定される特性を全て備えていると言える。ノルムベクトル空間になればバナッハ空間、さらに内積が定義されればヒルベルト空間になる。ノルムベクトル空間であるかどうかにかかわらず、セパラブルであればポーランド空間とも呼ばれる。
証明
[1]
$(\Longrightarrow)$
$x \in X$は$K$の集積点だ。$\iff$ $x$で収束する$K$の異なる点の数列が存在します。
$x \in X$が$K$の集積点とすると、$x$に収束する$K$の異なる点の数列$\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$が存在します。$\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$は異なる点で構成されているので、コーシー数列で、$K$は完備空間なので、$x \in K$でなければなりません。したがって、$K$は閉集合になります。
$(\Longleftarrow)$
$\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$が$K$の点のコーシー数列だとする。$X$は完備空間なので、$\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$はある$x \in X$に収束します。しかし、$K$は閉集合なので、$x \in K$に収束し、これはすべてのコーシー数列についても同様なので、$K$は$X$の完備部分空間でなければなりません。
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戦略(b): $(\Longleftarrow)$の証明は自明だ。$(\Longrightarrow)$で$K$が点列コンパクト空間であることを示した後、ボレル・ルベーグの定理を使う。距離空間$K$が点列コンパクトであるとは、$K$のすべての数列が$K$のある点に収束する部分数列を持つ空間のことだ。
[2]
$(\Longrightarrow)$
$\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$を閉集合$K$の点の数列とする。すべての$m \in \mathbb{N}$に対して、$K$に対する$1/m$ボール$A_{\varepsilon}$が存在するので、無限に多くの$n \in \mathbb{N}$について$x_{n}$を含むある開球$B_{m} := B_{d} ( x, 1/m)$が常に存在します。$m=1$に対して、$N_{1} \subset \mathbb{N}$を$N_{1} := \left\{ n : x_{n} \in B_{1} \right\}$のように定義します。ここで$n_{1} \in N_{1}$を選びます。$m=2$に対して、$N_{2} \subset \mathbb{N}$を$N_{2} := \left\{ n : x_{n} \in B_{1} \cap B_{2} \right\}$のように定義します。ここで$n_{2} \in N_{2}$を選びます。この方法で、すべての$m=k \in \mathbb{N}$に対して、$N_{k} \subset \mathbb{N}$を$N_{k} := \left\{ n : x_{n} \in \bigcap_{i=1}^{k} B_{k} \right\}$のように定義しましょう。ここで$n_{k} \in N_{k}$を選びます。すると、$\left\{ x_{n_{k}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$は$\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$の部分数列であり、すべての$l \ge k$について$x_{l} \in B_{k}$であるため、コーシー数列です。$X$は完備空間なので、$\left\{ x_{n_{k}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$は$X$のある点に収束するが、特に$K$が閉集合なので、$K$のある点に収束します。
距離空間$(X, \rho)$に対して、以下はすべて同等です。
$K$のすべての数列が$K$のある点に収束する部分数列を持つことを示したので、$K$は点列収束し、ボレル-ルベーグの定理により、閉集合$K$はコンパクトです。
$(\Longleftarrow)$
閉集合$K$がコンパクトなので、すべての$\varepsilon>0$に対して、$K$に対する$\varepsilon$ネットが存在します。したがって、$K$は完全有界です。
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