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完備距離空間の性質들 📂距離空間

完備距離空間の性質들

特性

(X,d)(X,d)距離空間で、KXK \subset Xとする。

説明

完備距離空間は完備性を持つ距離空間として、普通に想定される特性を全て備えていると言える。ノルムベクトル空間になればバナッハ空間、さらに内積が定義されればヒルベルト空間になる。ノルムベクトル空間であるかどうかにかかわらず、セパラブルであればポーランド空間とも呼ばれる。

証明

[1]

()(\Longrightarrow)

距離空間での集積点の特性

xXx \in XKKの集積点だ。    \iff xxで収束するKKの異なる点の数列が存在します。

xXx \in XKK集積点とすると、xxに収束するKKの異なる点の数列{xn}nN\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}が存在します。{xn}nN\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}は異なる点で構成されているので、コーシー数列で、KKは完備空間なので、xKx \in Kでなければなりません。したがって、KKは閉集合になります。

()(\Longleftarrow)

{xn}nN\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}KKの点のコーシー数列だとする。XXは完備空間なので、{xn}nN\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}はあるxXx \in Xに収束します。しかし、KKは閉集合なので、xKx \in Kに収束し、これはすべてのコーシー数列についても同様なので、KKXXの完備部分空間でなければなりません。

戦略(b): ()(\Longleftarrow)の証明は自明だ。()(\Longrightarrow)KKが点列コンパクト空間であることを示した後、ボレル・ルベーグの定理を使う。距離空間KK点列コンパクトであるとは、KKのすべての数列がKKのある点に収束する部分数列を持つ空間のことだ。

[2]

()(\Longrightarrow)

{xn}nN\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}を閉集合KKの点の数列とする。すべてのmNm \in \mathbb{N}に対して、KKに対する1/m1/mボールAεA_{\varepsilon}が存在するので、無限に多くのnNn \in \mathbb{N}についてxnx_{n}を含むある開球Bm:=Bd(x,1/m)B_{m} := B_{d} ( x, 1/m)が常に存在します。m=1m=1に対して、N1NN_{1} \subset \mathbb{N}N1:={n:xnB1}N_{1} := \left\{ n : x_{n} \in B_{1} \right\}のように定義します。ここでn1N1n_{1} \in N_{1}を選びます。m=2m=2に対して、N2NN_{2} \subset \mathbb{N}N2:={n:xnB1B2}N_{2} := \left\{ n : x_{n} \in B_{1} \cap B_{2} \right\}のように定義します。ここでn2N2n_{2} \in N_{2}を選びます。この方法で、すべてのm=kNm=k \in \mathbb{N}に対して、NkNN_{k} \subset \mathbb{N}Nk:={n:xni=1kBk}N_{k} := \left\{ n : x_{n} \in \bigcap_{i=1}^{k} B_{k} \right\}のように定義しましょう。ここでnkNkn_{k} \in N_{k}を選びます。すると、{xnk}kN\left\{ x_{n_{k}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}{xn}nN\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}の部分数列であり、すべてのlkl \ge kについてxlBkx_{l} \in B_{k}であるため、コーシー数列です。XXは完備空間なので、{xnk}kN\left\{ x_{n_{k}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}XXのある点に収束するが、特にKKが閉集合なので、KKのある点に収束します。

ボレル-ルベーグの定理

距離空間(X,ρ)(X, \rho)に対して、以下はすべて同等です。

KKのすべての数列がKKのある点に収束する部分数列を持つことを示したので、KKは点列収束し、ボレル-ルベーグの定理により、閉集合KKはコンパクトです。

()(\Longleftarrow)

閉集合KKがコンパクトなので、すべてのε>0\varepsilon>0に対して、KKに対するε\varepsilonネットが存在します。したがって、KKは完全有界です。