それがレギュラーマルチンゲールであれば、それは一様に可積分なマルチンゲールである
定義
確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ が与えられているとしよう。確率変数の集合 $\Phi$ が与えられた場合、全ての $\varepsilon>0$ に対して $$ \sup_{ X \in \Phi } \int_{ \left( \left| X \right| \ge k \right) } \left| X \right| dP < \varepsilon $$ を満たす $k \in \mathbb{N}$ が存在するなら、$\Phi$ は一様可積分であると言う。確率過程 $\left\{ X_{n} \right\}$ が一様可積分である場合、マルチンゲール $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ も一様可積分であると言う。
定理
マルチンゲール $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ が正則なら、一様可積分である。
説明
$|X| \ge k$ を考える理由を理解すると、定義を受け入れやすくなる。確率論で一様可積分かどうかを問うことは、確率過程が常に第一モーメントを持つかどうかを問うことと同じだ。つまり $E |X_{n}| <\infty$ をチェックすることで、自然数 $k \in \mathbb{N}$ が固定されている場合、 $$ E |X_{n}| = \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP + \int_{ \left( \left| X_{n} \right| < k \right) } \left| X_{n} \right| dP $$ なので、 $$ \begin{align*} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| < k \right) } \left| X_{n} \right| dP <& \int_{ \left( \left| X_{n} \right| < k \right) } k dP \\ <& \int_{ \Omega } k dP \\ <& k P ( \Omega ) \\ <& \infty \end{align*} $$ となり、$\displaystyle \int_{ \left( \left| X_{n} \right| < k \right) } \left| X_{n} \right| dP$を考える必要がなくなり、$\displaystyle \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP$ が有限であるかだけをチェックすればよい
証明
全ての $\varepsilon > 0$ に対して、次を満たす $k \in \mathbb{N}$ が存在することを示せばよい。 $$ \sup_{ n \in \mathbb{N} } \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP < \varepsilon $$
Part 1. $\displaystyle \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + M {{ E |X_{n} | } \over {k}} $
条件付き期待値の性質:
- [3]: $X$ が $\mathcal{F}$-可測ならば $E(X|\mathcal{F}) =X \text{ a.s.}$
- [10]: $\left| E( X | \mathcal{G} ) \right| \le E ( | X | | \mathcal{G} ) \text{ a.s.}$
- [11]: 全てのシグマフィールド $\mathcal{G}$ に対して $E \left[ E ( X | \mathcal{G} ) \right] = E(X)$
$\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ は正則マルチンゲールであるので、$X_{n} = E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right)$ を満たす可積分な確率変数 $\eta$ が存在する。条件付き期待値の性質 [3]、[10] に従って、 $$ \begin{align*} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP =& \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right) \right| dP \\ \le & \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } E \left( | \eta| | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } | \eta| dP \end{align*} $$ 今、$\left( \left| X_{n} \right| \ge k \right)$ を $\left( \left| \eta \right| > M \right)$ と $\left( \left| \eta \right| \le M \right)$ の 2 つの部分に分けると、 $$ \begin{align*} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP =& \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) \cap \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) \cap \left( \left| \eta \right| \le M \right)} | \eta| dP \\ \le & \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } M dP \\ \le & \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + M P \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) \end{align*} $$
マルコフの不等式: $$ P(u(X) \ge c) \le {E(u(X)) \over c} $$
マルコフの不等式によって、 $$ \begin{align*} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le & \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + M P \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) \\ \le & \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + M {{ E |X_{n} | } \over {k}} \end{align*} $$
Part 2. $\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + {{M} \over {k}} E | \eta | \text{ a.s.}$
$X_{n} = E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right)$ なので、条件付き期待値の性質 [10]、[11] に従って、 $$ \begin{align*} E |X_{n} | =& E \left| E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right) \right| \\ \le & E E \left( \left| \eta \right| | \mathcal{F}_{n} \right) \\ \le & E | \eta | \end{align*} $$ なので、Part 1から続いて、次の不等式を得る。 $$ \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + {{M} \over {k}} E | \eta | $$ これは全ての $n \in \mathbb{N}$ と $M>0$ に対して成り立つので、 $$ \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + {{M} \over {k}} E | \eta | $$
Part 3. $\displaystyle \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP < {{\varepsilon} \over {2}}$
支配収束定理: 可測集合 $E \in \mathcal{M}$ と $g \in \mathcal{L}^{1} (E)$ に対して、可測関数列 $\left\{ f_{n} \right\}$ が $E$ のほとんど至る所で $|f_{n}| \le g$ を満たすとする。もし $E$ のほとんど至る所で $\displaystyle f = \lim_{n \to \infty} f_{n}$ ならば、$f \in \mathcal{L}^{1}(E)$ そして $$ \lim_{ n \to \infty} \int_{E} f_{n} (x) dm = \int_{E} f dm $$
$|\eta| \mathbb{1}_{\left( \left| \eta \right| > M \right) } \le | \eta|$ なので、支配収束定理によって、 $$ \begin{align*} \lim_{M \to \infty} \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta | dP =& \lim_{M \to \infty} \int_{ \Omega } | \eta | \mathbb{1}_{\left( \left| \eta \right| > M \right) } dP \\ =& \int_{ \Omega } \lim_{M \to \infty} | \eta | \mathbb{1}_{\left( \left| \eta \right| > M \right) } dP \\ =& 0 \end{align*} $$ つまり、全ての $\displaystyle {{\varepsilon} \over {2}} > 0$ に対して、 $$ \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP < {{\varepsilon} \over {2}} $$ を満たす $M$ が存在する。
Part 4. $\displaystyle {{M} \over {k}} E | \eta | < {{\varepsilon} \over {2}}$
Part 3 に従って、 $$ \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le {{\varepsilon} \over {2}} + {{M} \over {k}} E | \eta | $$ を満たす $M$ が存在する。この $M$ と全ての $\displaystyle {{\varepsilon} \over {2}} > 0$ に対して、 $$ {{M} \over {k}} E | \eta | < {{\varepsilon} \over {2}} $$ を満たす $k \in \mathbb{N}$ が存在する。全ての $\varepsilon >0$ に対して、次を満たす $k \in \mathbb{N}$ が存在するので、正則マルチンゲール $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ は一様可積分である。 $$ \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le {{\varepsilon} \over {2}} + {{\varepsilon} \over {2}} = \varepsilon $$
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