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マキシマル定理 📂測度論

マキシマル定理

定理1

任意のfLloc1f \in L^1_{\mathrm{loc}}と任意のα>0\alpha >0に対し、以下の条件を満たす定数C>0C>0が存在する。

μ({x : Hf(x)>α})Cαf(y)dy \mu \big( \left\{ x\ :\ Hf(x)>\alpha \right\}\big) \le \frac{C}{\alpha} \int |f(y)| dy

この不等式はハーディ‐リトルウッドの最大不等式と呼ばれる。

ハーディ‐リトルウッドの最大関数

Hf(x)=supr>0Arf(x)=supr>01μ(B(r,x))B(r,x)f(y)dy Hf (x) = \sup \limits_{r>0} A_{r} |f|(x) = \sup \limits_{r>0} \frac{1}{\mu \big( B(r,x) \big)}\int_{B(r,x)}|f(y)|dy

証明

Eα={x  Hf(x)>α}E_\alpha =\left\{ x\ |\ Hf(x) > \alpha \right\}としよう。すると、HfHfの定義により、あるrrに対してArf(x)>αA_{r} |f|(x) >\alphaが成り立つことがわかる。このrrを固定し、rxr_{x}と名付けよう。今、B={B(rx,x)  xEα}\mathcal{B}=\left\{ B(r_{x},x)\ |\ x \in E_\alpha\right\}U=BBBU=\bigcup \nolimits_{B\in \mathcal{B}} Bとしよう。すると、UUEαE_\alphaカバーであるため、c<μ(Eα)μ(U) c < \mu (E_\alpha) \le \mu (U)である。

マクシマル補助定理

B\mathcal{B}Rn\mathbb{R}^nのオープンボールのコレクションとしよう。U=BBBU=\bigcup \limits_ { B\in \mathcal{B}} Bとしよう。すると、あるc<m(U)c <m (U)に対して、以下の条件を満たす有限個の互いに素なBjBB_{j} \in \mathcal{B}が存在する。 j=1kμ(Bj)>3nc \sum \limits_ {j=1}^k \mu (B_{j}) >3^{-n} c

マクシマル補助定理により、各x1,,xkXαx_{1},\cdots,x_{k} \in X_\alphaに対して、以下の式を満たす有限個のオープンボールBj=B(rxj,xj)B_{j}=B(r_{x_{j}},x_{j})が存在する。

1km(Bj)>13nc \sum \limits_{1}^k m (B_{j}) > \frac{1}{3^n}c

今、xjx_{j}を固定しよう。すると、次が成り立つ。

Arxjf(xj)=1m(Bj)Bjf(y)dy>α    m(Bj)<1αBjf(y)dy A_{r_{x_{j}}}|f|(x_{j})=\frac{1}{m(B_{j})}\int_{B_{j}} |f|(y)dy >\alpha \\ \implies m (B_{j}) < \frac{1}{\alpha} \int_{B_{j}}|f|(y)dy

したがって、次を得る。

c<3n1km(Bj)3nα1kBjf(y)dy3nαRnf(y)dy=3nαfL1 \begin{align*} c < 3^n \sum \limits_{1}^k m (B_{j}) &\le \frac{3^n}{\alpha} \sum\limits_{1}^k \int_ {B_{j}} |f(y)|dy \\ &\le \frac{3^n}{\alpha}\int_{\mathbb{R}^n}|f(y)|dy \\ &= \frac{3^n}{\alpha} | f|_{L^1} \end{align*}

ここに極限cm(Eα)c \nearrow m (E_\alpha)を取れば証明完了。


  1. ジェラルド・B・フォーランド, 実解析:現代の技術とその応用 (第2版, 1999), p96 ↩︎