マキシマル定理
📂測度論マキシマル定理
定理
任意のf∈Lloc1と任意のα>0に対し、以下の条件を満たす定数C>0が存在する。
μ({x : Hf(x)>α})≤αC∫∣f(y)∣dy
この不等式はハーディ‐リトルウッドの最大不等式と呼ばれる。
ハーディ‐リトルウッドの最大関数
Hf(x)=r>0supAr∣f∣(x)=r>0supμ(B(r,x))1∫B(r,x)∣f(y)∣dy
証明
Eα={x ∣ Hf(x)>α}としよう。すると、Hfの定義により、あるrに対してAr∣f∣(x)>αが成り立つことがわかる。このrを固定し、rxと名付けよう。今、B={B(rx,x) ∣ x∈Eα}、U=⋃B∈BBとしよう。すると、UはEαのカバーであるため、c<μ(Eα)≤μ(U)である。
マクシマル補助定理
BをRnのオープンボールのコレクションとしよう。U=B∈B⋃Bとしよう。すると、あるc<m(U)に対して、以下の条件を満たす有限個の互いに素なBj∈Bが存在する。
j=1∑kμ(Bj)>3−nc
マクシマル補助定理により、各x1,⋯,xk∈Xαに対して、以下の式を満たす有限個のオープンボールBj=B(rxj,xj)が存在する。
1∑km(Bj)>3n1c
今、xjを固定しよう。すると、次が成り立つ。
Arxj∣f∣(xj)=m(Bj)1∫Bj∣f∣(y)dy>α⟹m(Bj)<α1∫Bj∣f∣(y)dy
したがって、次を得る。
c<3n1∑km(Bj)≤α3n1∑k∫Bj∣f(y)∣dy≤α3n∫Rn∣f(y)∣dy=α3n∣f∣L1
ここに極限c↗m(Eα)を取れば証明完了。
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