レギュラーマルチンゲールとクローズ可能なマルチンゲール
定義
確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ と マルチンゲール $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ が与えられたとする。
- ある可積分な確率変数 $\eta$ に対し $X_{n} = E ( \eta | \mathcal{F}_{n} )$ が成り立つなら、$\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ を通常のマルチンゲールという。
- ある可積分な確率変数 $X_{\infty}$ が存在して $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ): n = 1 , \cdots , \infty \right\}$ をマルチンゲールにするものであり、かつ $\mathcal{F}_{\infty}$-可測なら、$\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ を閉じることができるマルチンゲールという。
- $\displaystyle \mathcal{F}_{\infty} = \bigotimes_{n=1}^{\infty} \mathcal{F}_{n}$ はテンソル積ではなく、全てのフィルトレーション $\mathcal{F}_{n}$ の全ての要素を含み、最も小さいシグマ場を意味する。特に新しいわけではないが、実際に位相空間 $\Omega$ の全ての開集合を含み、最も小さいシグマ場をボレルシグマ場と言ってきた。それでも難しいなら、フィルトレーションの条件を満たすシグマ場として受け入れても構わない。
説明
- $m > n$ に対して $E \left( E ( \eta | \mathcal{F}_{m} ) | \mathcal{F}_{n} \right)$ $\eta$ を考えると、$\eta$ は $\mathcal{F}_{n}$-可測であり、$\mathcal{F}_{n} \subset \mathcal{F}_{m}$ なので、平滑化特性により $E \left( \eta E ( 1 | \mathcal{F}_{m} ) | \mathcal{F}_{n} \right) = E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right) = X_{n}$ となり、したがって通常のマルチンゲールは $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ はマルチンゲールのままであることが確認できる。ここで、$m$ は $n+1$ ではなく $n$ より大きい全ての整数であることに注意。
- $n = 1 , \cdots , \infty$ というのは、無限を扱うときに常にそうであるように、簡単に見えてそれほど簡単ではない。ある $\mathcal{F}_{\infty}$-可測な確率変数 $X_{\infty}$ が存在し、$\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}_{n \in \overline{\mathbb{N}}}$ がマルチンゲールになることを確認することは、全ての自然数 $n \in \mathbb{N}$ に対して $E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) = X_{n}$ が成立することを確認することと同じである。
一方、マルチンゲールが通常のものであり、かつ閉じることができるものであることは必要十分条件である。閉じることができるマルチンゲールは役立つ性質が多く見えること、そしてある $\eta$ を提案して作りやすいのは通常のものであり、これらが等価であることはかなり良いことと簡単に推測できる。
定理
証明
[1](../1393)
[2](../1399)
[3](../1401)
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$\eta:= X_{\infty}$ とすると、$X_{n} = E ( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} )$ が成り立つので、閉じることができるマルチンゲールである。
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