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レギュラーマルチンゲールとクローズ可能なマルチンゲール 📂確率論

レギュラーマルチンゲールとクローズ可能なマルチンゲール

定義

確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) と マルチンゲール {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} が与えられたとする。

  1. ある可積分な確率変数 η\eta に対し Xn=E(η∣Fn)X_{n} = E ( \eta | \mathcal{F}_{n} ) が成り立つなら、{(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} を通常のマルチンゲールという。
  2. ある可積分な確率変数 X∞X_{\infty} が存在して {(Xn,Fn):n=1,⋯ ,∞}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ): n = 1 , \cdots , \infty \right\} をマルチンゲールにするものであり、かつ F∞\mathcal{F}_{\infty}-可測なら、{(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} を閉じることができるマルチンゲールという。
  • F∞=⨂n=1∞Fn\displaystyle \mathcal{F}_{\infty} = \bigotimes_{n=1}^{\infty} \mathcal{F}_{n} はテンソル積ではなく、全てのフィルトレーション Fn\mathcal{F}_{n} の全ての要素を含み、最も小さいシグマ場を意味する。特に新しいわけではないが、実際に位相空間 Ω\Omega の全ての開集合を含み、最も小さいシグマ場をボレルシグマ場と言ってきた。それでも難しいなら、フィルトレーションの条件を満たすシグマ場として受け入れても構わない。

説明

  1. m>nm > n に対して E(E(η∣Fm)∣Fn)E \left( E ( \eta | \mathcal{F}_{m} ) | \mathcal{F}_{n} \right) η\eta を考えると、η\eta は Fn\mathcal{F}_{n}-可測であり、Fn⊂Fm\mathcal{F}_{n} \subset \mathcal{F}_{m} なので、平滑化特性により E(ηE(1∣Fm)∣Fn)=E(η∣Fn)=XnE \left( \eta E ( 1 | \mathcal{F}_{m} ) | \mathcal{F}_{n} \right) = E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right) = X_{n} となり、したがって通常のマルチンゲールは {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} はマルチンゲールのままであることが確認できる。ここで、mm は n+1n+1 ではなく nn より大きい全ての整数であることに注意。
  2. n=1,⋯ ,∞n = 1 , \cdots , \infty というのは、無限を扱うときに常にそうであるように、簡単に見えてそれほど簡単ではない。ある F∞\mathcal{F}_{\infty}-可測な確率変数 X∞X_{\infty} が存在し、{(Xn,Fn)}n∈N‾\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}_{n \in \overline{\mathbb{N}}} がマルチンゲールになることを確認することは、全ての自然数 n∈Nn \in \mathbb{N} に対して E(X∞∣Fn)=XnE \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) = X_{n} が成立することを確認することと同じである。

一方、マルチンゲールが通常のものであり、かつ閉じることができるものであることは必要十分条件である。閉じることができるマルチンゲールは役立つ性質が多く見えること、そしてある η\eta を提案して作りやすいのは通常のものであり、これらが等価であることはかなり良いことと簡単に推測できる。

定理

証明

[1](../1393)

[2](../1399)

[3](../1401)

4

η:=X∞\eta:= X_{\infty} とすると、Xn=E(X∞∣Fn)X_{n} = E ( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} ) が成り立つので、閉じることができるマルチンゲールである。

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