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劣マルチンゲール収束定理の証明 📂確率論

劣マルチンゲール収束定理の証明

概要

確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) と サブマルチンゲール {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} が与えられたとする。

sup⁡n∈NEXn+<∞\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} < \infty とすると、XnX_{n} はある 確率変数 X∞:Ω→RX_{\infty}: \Omega \to \mathbb{R} にほとんど確実に 収束する EX∞<EX∞+<∞E X_{\infty} < E X_{\infty}^{+} < \infty

証明

戦略：リミットスープリームとリミットインフィニマムの特性を使用する。 X∗:=lim sup⁡n∈NXnX∗:=lim inf⁡n∈NXn X^{\ast}:= \limsup_{n \in \mathbb{N}} X_{n} \\ X_{\ast}:= \liminf_{n \in \mathbb{N}} X_{n} だとすると、 (X∗>X∗)=⋃a<ba,b∈Q(X∗>b>a>X∗) \left( X^{\ast} > X_{\ast} \right) = \bigcup_{a < b \\ a, b \in \mathbb{Q}} \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) ここで、a,b∈Qa,b \in \mathbb{Q} だから (X∗>X∗)(X^{\ast} > X_{\ast}) を PP に可算に分割することができる。すると、X∗X^{\ast} と X∗X_{\ast} の間のすべての有理数 aa、bb に対して、P(X∗>b>a>X∗)=0P \left( X^{\ast} >b >a> X_{\ast} \right) = 0 ならば P(X∗>X∗)=0P \left( X^{\ast} > X_{\ast} \right) = 0 となり、これは XnX_{n} がほとんど確実に X∞X_{\infty} に収束することを意味する。

パート1. P(X∗>b>a>X∗)≤P(β∞(a,b)=∞)P \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \le P \left( \beta_{\infty} (a,b) = \infty \right)

二つの有理数 a,b∈Qa, b \in \mathbb{Q} が作る閉区間 [a,b][a,b] のアップクロッシングの回数を βN(a,b)\beta_{N} (a,b) とし、その極限を β∞(a,b):=lim⁡N→∞βN(a,b)\displaystyle \beta_{\infty} (a,b):= \lim_{N \to \infty} \beta_{N} (a,b) とする。X∗>b>a>X∗X^{\ast} > b > a > X_{\ast} ならば、XnX_{n} が無限に多くの n∈Nn \in \mathbb{N} に対し、aa 以下にも、bb 以上にも行ったという意味になる。したがって、β∞(a,b)=∞\beta_{\infty} (a,b) = \infty であり、命題としては X∗>b>a>X∗  ⟹  β∞(a,b)=∞ X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \implies \beta_{\infty} (a,b) = \infty 集合表現に変えると、 (X∗>b>a>X∗)⊂(β∞(a,b)=∞) \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \subset \left( \beta_{\infty} (a,b) = \infty \right) 確率 PP を取ると、 P(X∗>b>a>X∗)≤P(β∞(a,b)=∞) P \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \le P \left( \beta_{\infty} (a,b) = \infty \right)

パート2. P(β∞(a,b)<∞)=1P \left( \beta_{\infty} (a,b) < \infty \right) = 1

P(∣X∣=∞)≠0  ⟹  E(∣X∣)=∞ P \left( |X| = \infty \right) \ne 0 \implies E \left( |X| \right) = \infty であるから、対偶によりほとんど確実に Eβ∞(a,b)<∞  ⟹  β∞(a,b)<∞ E \beta_{\infty} (a,b) < \infty \implies \beta_{\infty} (a,b) < \infty

アップクロッシングの期待値上限: EβN(a,b)≤EXN++∣a∣b−a\displaystyle E \beta_{N} (a,b) \le {{ E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }}

単調収束定理: 関数値が非負の可測関数の数列 {fn}\left\{ f_{n} \right\} が fn↗ff_{n} \nearrow f を満たすとする。すると、 lim⁡n→∞∫Efndm=∫Efdm \lim_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm = \int_{E} f dm

前提により、 EβN(a,b)≤EXN++∣a∣b−a≤sup⁡N∈NEXN++∣a∣b−a<∞ E \beta_{N} (a,b) \le {{ E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }} \le {{ \sup_{N \in \mathbb{N}} E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }} < \infty βN(a,b)\beta_{N} (a,b) の定義により、βN(a,b)↗β∞(a,b)\beta_{N} (a,b) \nearrow \beta_{\infty} (a,b) であるから、単調収束定理により、 ∞>lim⁡N→∞EβN(a,b)=Elim⁡N→∞βN(a,b)=Eβ∞(a,b) \begin{align*} \infty &>& \lim_{N \to \infty} E \beta_{N} (a,b) \\ =& E \lim_{N \to \infty} \beta_{N} (a,b) \\ =& E \beta_{\infty} (a,b) \end{align*} 結論として、Eβ∞(a,b)<∞E \beta_{\infty} (a,b) < \infty であるから、ほとんど確実に β∞(a,b)<∞\beta_{\infty} (a,b) < \infty、すなわち P(β∞(a,b)<∞)=1P \left( \beta_{\infty} (a,b) < \infty \right) = 1 が成立する。

パート3. P(X∗=X∗)=1\displaystyle P \left( X^{\ast} = X_{\ast} \right) = 1

パート1〜2に従って、X∗>b>a>X∗X^{\ast} > b > a > X_{\ast} の全ての a,b∈Qa, b \in \mathbb{Q} に対して、 P(X∗>b>a>X∗)≤P(β∞(a,b)=∞)=0 P \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \le P \left( \beta_{\infty} (a,b) = \infty \right) = 0 確率 PP は測度であるから、 P(X∗>X∗)=P[⋃a<ba,b∈Q(X∗>b>a>X∗)]=∑a<ba,b∈QP(X∗>b>a>X∗)≤∑a<ba,b∈Q0=0 \begin{align*} P \left( X^{\ast} > X_{\ast} \right) =& P \left[ \bigcup_{a < b \\ a, b \in \mathbb{Q}} \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \right] \\ =& \sum_{a < b \\ a, b \in \mathbb{Q}} P \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \\ \le & \sum_{a < b \\ a, b \in \mathbb{Q}} 0 \\ =& 0 \end{align*} 結論として、P(X∗≤X∗)=1P \left( X^{\ast} \le X_{\ast} \right) = 1 であるから、XnX_{n} の極限 X∞X_{\infty} はほとんど確実に存在する。

パート4. EX∞<∞E X_{\infty} < \infty

絶対値の分解によって、 ∣Xn∣=Xn++Xn−=2Xn+−Xn |X_{n}| = X_{n}^{+} + X_{n}^{-} = 2 X_{n}^{+} - X_{n} {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} はサブマルチンゲールであるから、EXn≥EX1E X_{n} \ge E X_{1} したがって、 E∣Xn∣=2EXn+−EXn≤2EXn+−EX1 E |X_{n}| = 2 E X_{n}^{+} - E X_{n} \le 2 E X_{n}^{+} - E X_{1} 前提で sup⁡n∈NEXn+<∞\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} < \infty であったから、 sup⁡n∈NE∣Xn∣≤2sup⁡n∈NEXn+−EX1<∞ \sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | \le 2 \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} - E X_{1} < \infty

ファトゥの補題: 関数値が非負の可測関数の数列 {fn}\left\{ f_{n} \right\} に対して、∫E(lim inf⁡n→∞fn)dm≤lim inf⁡n→∞∫Efndm\displaystyle \int_{E} \left( \liminf_{n \to \infty} f_{n} \right) dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm

sup⁡n∈NE∣Xn∣<∞\sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | < \infty であり、ファトゥの補題により、 ∞>sup⁡n∈NE∣Xn∣≥lim inf⁡n→∞E∣Xn∣=lim inf⁡n→∞∫Ω∣Xn∣dP=∫Ωlim inf⁡n→∞∣Xn∣dP=∫Ω∣X∞∣dP=E∣X∞∣ \begin{align*} \infty &>& \sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | \\ \ge& \liminf_{n \to \infty} E | X_{n} | \\ =& \liminf_{n \to \infty} \int_{\Omega} | X_{n} | d P \\ =& \int_{\Omega} \liminf_{n \to \infty} | X_{n} | d P \\ =& \int_{\Omega} | X_{\infty} | d P \\ =& E |X_{\infty}| \end{align*} したがって、E∣X∞∣E | X_{\infty} | も存在する。

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系

特に、証明過程のパート4.で、Xn<0X_{n} < 0 ならば、Xn=Xn+−Xn−X_{n} = X_{n}^{+} - X_{n}^{-} から Xn+=0X_{n}^{+} = 0 へ、つまり、条件 sup⁡n∈NEXn+<∞\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} < \infty さえ不要になることがわかる。