劣マルチンゲール収束定理の証明
概要
確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ と サブマルチンゲール $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ が与えられたとする。
$\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} < \infty$ とすると、$X_{n}$ はある 確率変数 $X_{\infty}: \Omega \to \mathbb{R}$ にほとんど確実に 収束する $$E X_{\infty} < E X_{\infty}^{+} < \infty$$
証明
戦略：リミットスープリームとリミットインフィニマムの特性を使用する。 $$ X^{\ast}:= \limsup_{n \in \mathbb{N}} X_{n} \\ X_{\ast}:= \liminf_{n \in \mathbb{N}} X_{n} $$ だとすると、 $$ \left( X^{\ast} > X_{\ast} \right) = \bigcup_{a < b \\ a, b \in \mathbb{Q}} \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) $$ ここで、$a,b \in \mathbb{Q}$ だから $(X^{\ast} > X_{\ast})$ を $P$ に可算に分割することができる。すると、$X^{\ast}$ と $X_{\ast}$ の間のすべての有理数 $a$、$b$ に対して、$P \left( X^{\ast} >b >a> X_{\ast} \right) = 0$ ならば $P \left( X^{\ast} > X_{\ast} \right) = 0$ となり、これは $X_{n}$ がほとんど確実に $X_{\infty}$ に収束することを意味する。
パート1. $P \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \le P \left( \beta_{\infty} (a,b) = \infty \right) $
二つの有理数 $a, b \in \mathbb{Q}$ が作る閉区間 $[a,b]$ のアップクロッシングの回数を $\beta_{N} (a,b) $ とし、その極限を $\displaystyle \beta_{\infty} (a,b):= \lim_{N \to \infty} \beta_{N} (a,b)$ とする。$X^{\ast} > b > a > X_{\ast}$ ならば、$X_{n}$ が無限に多くの $n \in \mathbb{N}$ に対し、$a$ 以下にも、$b$ 以上にも行ったという意味になる。したがって、$\beta_{\infty} (a,b) = \infty$ であり、命題としては $$ X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \implies \beta_{\infty} (a,b) = \infty $$ 集合表現に変えると、 $$ \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \subset \left( \beta_{\infty} (a,b) = \infty \right) $$ 確率 $P$ を取ると、 $$ P \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \le P \left( \beta_{\infty} (a,b) = \infty \right) $$
パート2. $P \left( \beta_{\infty} (a,b) < \infty \right) = 1$
$$ P \left( |X| = \infty \right) \ne 0 \implies E \left( |X| \right) = \infty $$ であるから、対偶によりほとんど確実に $$ E \beta_{\infty} (a,b) < \infty \implies \beta_{\infty} (a,b) < \infty $$
アップクロッシングの期待値上限: $\displaystyle E \beta_{N} (a,b) \le {{ E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }}$
単調収束定理: 関数値が非負の可測関数の数列 $\left\{ f_{n} \right\}$ が $f_{n} \nearrow f$ を満たすとする。すると、 $$ \lim_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm = \int_{E} f dm $$
前提により、 $$ E \beta_{N} (a,b) \le {{ E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }} \le {{ \sup_{N \in \mathbb{N}} E X_{N}^{+} + |a| } \over { b-a }} < \infty $$ $\beta_{N} (a,b)$ の定義により、$\beta_{N} (a,b) \nearrow \beta_{\infty} (a,b)$ であるから、単調収束定理により、 $$ \begin{align*} \infty &>& \lim_{N \to \infty} E \beta_{N} (a,b) \\ =& E \lim_{N \to \infty} \beta_{N} (a,b) \\ =& E \beta_{\infty} (a,b) \end{align*} $$ 結論として、$E \beta_{\infty} (a,b) < \infty$ であるから、ほとんど確実に $\beta_{\infty} (a,b) < \infty$、すなわち $P \left( \beta_{\infty} (a,b) < \infty \right) = 1$ が成立する。
パート3. $\displaystyle P \left( X^{\ast} = X_{\ast} \right) = 1$
パート1〜2に従って、$X^{\ast} > b > a > X_{\ast}$ の全ての $a, b \in \mathbb{Q}$ に対して、 $$ P \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \le P \left( \beta_{\infty} (a,b) = \infty \right) = 0 $$ 確率 $P$ は測度であるから、 $$ \begin{align*} P \left( X^{\ast} > X_{\ast} \right) =& P \left[ \bigcup_{a < b \\ a, b \in \mathbb{Q}} \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \right] \\ =& \sum_{a < b \\ a, b \in \mathbb{Q}} P \left( X^{\ast} > b > a > X_{\ast} \right) \\ \le & \sum_{a < b \\ a, b \in \mathbb{Q}} 0 \\ =& 0 \end{align*} $$ 結論として、$P \left( X^{\ast} \le X_{\ast} \right) = 1$ であるから、$X_{n}$ の極限 $X_{\infty}$ はほとんど確実に存在する。
パート4. $E X_{\infty} < \infty$
絶対値の分解によって、 $$ |X_{n}| = X_{n}^{+} + X_{n}^{-} = 2 X_{n}^{+} - X_{n} $$ $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ はサブマルチンゲールであるから、$E X_{n} \ge E X_{1}$ したがって、 $$ E |X_{n}| = 2 E X_{n}^{+} - E X_{n} \le 2 E X_{n}^{+} - E X_{1} $$ 前提で $\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} < \infty$ であったから、 $$ \sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | \le 2 \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} - E X_{1} < \infty $$
ファトゥの補題: 関数値が非負の可測関数の数列 $\left\{ f_{n} \right\}$ に対して、$$\displaystyle \int_{E} \left( \liminf_{n \to \infty} f_{n} \right) dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$
$\sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | < \infty$ であり、ファトゥの補題により、 $$ \begin{align*} \infty &>& \sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | \\ \ge& \liminf_{n \to \infty} E | X_{n} | \\ =& \liminf_{n \to \infty} \int_{\Omega} | X_{n} | d P \\ =& \int_{\Omega} \liminf_{n \to \infty} | X_{n} | d P \\ =& \int_{\Omega} | X_{\infty} | d P \\ =& E |X_{\infty}| \end{align*} $$ したがって、$E | X_{\infty} |$ も存在する。
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系
特に、証明過程のパート4.で、$X_{n} < 0$ ならば、$X_{n} = X_{n}^{+} - X_{n}^{-}$ から $X_{n}^{+} = 0$ へ、つまり、条件 $\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} < \infty$ さえ不要になることがわかる。