代数、準測度

定義

集合$X \ne \varnothing$の部分集合のコレクション $\mathcal{A}$が下記の三条件を満たす時、集合$\mathcal{A}$を**$X$上の集合の代数**^{algebra of sets on X}という。

(a) $E_{1}$, $\cdots$, $E_{n}\in \mathcal{A}$ならば、$\bigcup \nolimits_{1}^n E_{n} \in \mathcal{A}$だ。
(b) $E_{1}$, $\cdots$, $E_{n}\in \mathcal{A}$ならば、$\bigcap \nolimits_{1}^n E_{n} \in \mathcal{A}$だ。
(c) $E \in \mathcal{A}$ならば、$E^c\in \mathcal{A}$だ。

$\mathcal{A}$を$X$上の代数としよう。下記の条件を満たす関数$\mu_{0}\ :\ \mathcal{A} \rightarrow [0,\infty]$を 準測度^premeasureという。

(d) $\mu_{0} (\varnothing)=0$
(e) $\left\{ E_{j} \right\}_{1}^\infty$が$\mathcal{A}$の互いに素な集合の数列で、$\bigcup \nolimits_{1} ^\infty E_{j} \in \mathcal{A}$とする。そうすると $$ \mu_{0} \left( \bigcup \limits_{1}^\infty E_{j}\right)=\sum \limits _{1} ^\infty \mu_{0} (E)_{j} $$

説明

ここで、条件 (a)^{有限和集合}、(b)^{有限交集合}を加算和集合、加算交集合に変えるとシグマ代数になる。また、$\varnothing$、$X$$\in \mathcal{A}$が成立するが、これは上の定義で簡単に確認できる。あるいはこの条件自体を定義に含めて話すこともある。

$E \in \mathcal{A}$ならば、定義によって$E^c \in \mathcal{A}$であり、また$E\cap E^c=\varnothing \in \mathcal{A}$だ。それ故に$\varnothing^c=X\in \mathcal{A}$

(e) 加算和集合が代数に再び含まれる必要はないが、含まれる場合はその限りで加算加法性を持たなければならないということだ。