📂測度論

トータルバリエーション

定義¹

測度空間の$(X, \mathcal{E})$上の符号付き測度$\nu$の全変動^{total variation}$| \nu |$を以下のように定義する。

$$ |\nu |= \nu^{+} +\nu^{-} $$

ここで、$\nu=\nu^{+}-\nu^{-}$は$\nu$のジョルダン分解である。

説明

$\nu^{+}$と$\nu^{-}$をそれぞれ$\nu$の正変動^{positive variation}、負変動^{negative variation}と呼ぶ。測度に対するジョルダン分解と全変動は、任意の関数を非負の二つの関数に表す方法と完全に同じである。全変動$|\nu|$について、次が成り立つ。

定理1

$E \in \mathcal{E}$とする。すると、下記の二つの命題は同値である。

• (a) $E$が$\nu$-nullである。
• (b) $E$が$|\nu|$-nullである。

証明

• (a) $\implies$ (b)

  $E$が$\nu$-nullであるとする。$X=P\cup N$を$\nu$に対するある分解とする。すると、仮定により、全ての$F\subset E$、$F\in \mathcal{E}$に対して、次が成り立つ。

  $$ \begin{align*} \nu^{+}(F) &= \nu (F \cap P)=0 \\ \nu^{-}(F) &= \nu (F \cap N)=0 \end{align*} $$

  したがって、下記の式が成り立つ。

  $$ | \nu | (F)= \nu^{+}(F) + \nu^{-}(F)=0,\quad \forall F\subset E $$

  ゆえに、$E$は$| \nu |$-nullである。

• (b) $\implies$ (a)

  $E$が$| \nu |$-nullであるとする。すると、全ての$F\subset E$、$F\in \mathcal{E}$に対して、次が成り立つ。

  $$ | \nu | (F)=\nu^{+} (F) +\nu ^- (F)=0 $$

  しかし、$\nu^{+}$、$\nu^{-}$は相互特異なので、上の式が成り立つためには、必ず$\nu^{+} (F)=0$、$\nu^{-} (F)=0$でなければならない。したがって、次を得る。

  $$ \nu (F) = \nu^{+} (F) - \nu^{-} (F)=0,\quad \forall F\subset E $$

  ゆえに、$E$は$\nu$-nullである。

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証明過程で、同値な条件が以下のように拡張されることが分かる。

• (a) $E$が$\nu$-nullである。
• (b) $E$が$|\nu|$-nullである。
• (b’) $E$が$\nu^{+}$-null、$\nu^{-}$-nullである。

定理2

二つの符号付き測度$\nu$、$\mu$に対して、以下の条件は全て同値である。

• (c) $\nu \perp \mu$
• (d) $\nu^{+} \perp \mu$ そして $\nu^{-} \perp \mu$
• (e) $|\nu| \perp \mu$

証明

• (c) $\implies$ (d)

  仮定により、$E$が$\nu$-nullであり、$F$が$\mu$-nullである$E \cup F =X$、$E \cap F=\varnothing$が存在する。ここで、$E$が$\nu^{+}$-null、$\nu^{-}$-nullであることを示せば、相互に特異の定義により証明完了である。しかし、定理 1 により、$E$が$\nu$-nullであれば、$\nu^{+}$-null、$\nu^{-}$-nullでもあるため、次が成り立つ。

  $$ \nu^{+} \perp \mu \quad \text{and} \quad \nu^{-} \perp \mu $$

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• (d) $\implies$ (e)

  仮定により、$E_+$が$\nu^{+}$-nullであり、$F$が$\mu$-nullである$E_+ \cup F_+ =X$、$E_+ \cap F_+=\varnothing$が存在する。また、$E_-$が$\nu^{-}$-nullであり、$F$が$\mu$-nullである$E_- \cup F_- =X$、$E_- \cap F_-=\varnothing$が存在する。いま、集合$A,\ B_{1},\ B_2,\ B_{3}$を以下のように定義しよう。

  $$ A:= E_+ \cap E_-,\quad B_{1}:=E_+ \cap F_- \\ B_2:=F_+ \cap F_- ,\quad B_{3}:=E_- \cap F_+ $$

  すると、四つの集合は互いに素であり、次を満たす。

  $$ A\cup B_{1} \cup B_2 \cup B_{3} =X $$

  そして、$A$は$\nu^{+}$-nullでも$\nu^{-}$-nullでもある。したがって、$A$は$| \nu |$-nullである。また、全ての$j$に対して、$B_{j}$は$\mu$-nullである。いま、$B=\cup B_{j}$としよう。すると、$A\cup B=X$、$A \cap B=\varnothing$であり、$A$が$| \nu |$-nullであり、$B$が$\mu$-nullであるため、次が成り立つ。

  $$ | \nu| \perp \mu $$

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• (e) $\implies$ (c)

  既に$**

  가정에 의해 $E$가 $| \nu |$-null이고, $F$가 $\mu$-null인 $E \cup F =X$, $E \cap F=\varnothing$가 존재한다. 정리 1 에 의해 $E$가 $| \nu |$-null이면 $\nu$-null"も成り立っているため、証明は完了。

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