停止時間の性質
整理
確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ と マルチンゲール $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ が与えられているとする。停止時刻 $\tau$ について、$\mathcal{F}_{\tau}:= \left\{ A \in \mathcal{F}: A \cap ( \tau = n ) \in \mathcal{F}_{n} \right\}$ を $\tau$ によって誘導されたシグマ場 と呼ぶ。
- [1]: $\mathcal{F}_{\tau}$ はシグマ場である。
- [2]: $\tau$ は $\mathcal{F}_{\tau}$-可測関数である。
- [3]: マルチンゲール $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ に対して、$X_{\tau}$ は $\mathcal{F}_{\tau}$-可測関数である。
- [4]: $\mathbb{1}_{(\sigma = n)}$ は $\mathcal{F}_{\sigma}$-可測関数である。
- [5]: $Z_{n}$ が $F_{n}$-可測関数であれば、$Z_{n} \mathbb{1}_{\sigma = n}$ は $\mathcal{F}_{\sigma}$-可測関数であり、同時に $\mathcal{F}_{n}$-可測関数である。さらに、$Z_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} = Z_{\sigma} \mathbb{1}_{(\sigma = n)}$ が成り立つ。
- [6]: $E(X_{\tau} | \mathcal{F}_{\sigma} ) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} = E(X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} ) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \text{ a.s.}$
- ボレル集合 $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ に対して、$(\tau \in B) = \tau^{-1} (B)$ で、$(\tau = n)$ は $\tau^{-1} ( \left\{ n \right\} )$ と同等である。
- $\tau$ が $\mathcal{F}_{n}$-可測関数であるとは、すべての ボレル集合 $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ に対して、$\tau^{-1} (B) \in \mathcal{F}_{n}$ という意味である。
- 確率過程 $\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}_{0}}$ が与えられた場合、$\omega \in \Omega$ について、$X_{\tau}$ は次を意味する。 $$ X_{\tau} = X_{\tau} ( \omega )= X_{\tau (\omega)} ( \omega ) $$
説明
停止時刻は、本質的には私達が関心を持っているあるタイミングを表すための確率変数として理解できる。
証明
[1]
$\mathcal{F}_{\tau}$ が シグマ場の条件を満たしているかを確認する。
第一部. $\emptyset \in \mathcal{F}_{\tau}$
$\mathcal{F}$ および $\mathcal{F}_{n}$ はシグマ場であるため、$\emptyset$ を含む。従って、$\emptyset \in \mathcal{F}_{\tau}$ が成り立つ。
第二部. $A \in \mathcal{F}_{\tau} \implies A^{c} \in \mathcal{F}_{\tau}$
$$ A^{c} \cap ( \tau = n ) = ( \tau = n ) \setminus \left[ A \cap ( \tau = n ) \right] $$ ここで $( \tau = n) \in \mathcal{F}_{n}$ そしてもし $A \in \mathcal{F}_{\tau}$ であれば、$F_{\tau}$ の定義により、$A \cap ( \tau = n) \in \mathcal{F}_{n}$ だから、$A^{c} \in \mathcal{F}_{\tau}$
第三部. $\displaystyle \left\{ A_{n} \right\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}_{\tau} \implies \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \in \mathcal{F}_{\tau}$
$i = 1 , 2, \cdots$ に対して、もし $A_{i} \in \mathcal{F}_{\tau}$ であれば、$F_{\tau}$ の定義により、$A_{i} \cap ( \tau = n) \in \mathcal{F}_{n}$ が成り立つ。従って、 $$ \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \cap (\tau = n ) = \bigcup_{i=1}^{\infty} \left[ A_{i} \cap ( \tau = n) \right] \in \mathcal{F}_{n} $$ もう一度、$F_{\tau}$ の定義により、 $$\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \in \mathcal{F}_{\tau}$$
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[2]
可測関数の同値条件によれば、$\tau$ が $\mathcal{F}_{\tau}$-可測関数かどうかを確認するためには、すべての $k \in \mathbb{R}$ に対して $( \tau \le k ) \in \mathcal{F}_{\tau}$ が成り立つかどうかだけを確認すれば十分である。 $$ ( \tau \le k ) \cap ( \tau = n) = \begin{cases} \emptyset &, k < n \\ (\tau = n) &, k \ge n \end{cases} $$ ここで $\emptyset \in \mathcal{F}_{n}$ かつ $(\tau =n ) \in \mathcal{F}_{n}$ であるため、$k \in \mathbb{R}$ が何であれ $( \tau \le k ) \cap ( \tau = n) \in \mathcal{F}_{n}$ が成り立つ。従って、全ての $k \in \mathbb{R}$ に対して $( \tau \le k ) \in \mathcal{F}_{\tau}$ が成り立ち、$\tau$ は $\mathcal{F}_{\tau}$-可測関数である。
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[3]
任意の ボレル集合 $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ に対して、以下が成り立つ。 $$ (X_{\tau} \in B) \cap (\tau = n) = (X_{n} \in B) \cap (\tau = n) $$ これは、$(X_{\tau} \in B)$ と $(X_{n} \in B)$ が $(\tau = n)$ との 交差を取った場合にのみ $\tau = n$ になるためである。これは、条件付き期待値 $E(Y|X)$ を計算する際に、$X=x$ のように値が固定されているケースだけを考えるのと同じである。一方、マルチンゲールの定義によると、$(X_{n} \in B) \in \mathcal{F}_{n}$ が必要であり、停止時刻の定義によると、$(\tau = n ) \in \mathcal{F}_{n}$ が成り立つ。したがって、$\left[ (X_{\tau} \in B) \cap (\tau = n) \right] \in \mathcal{F}_{\tau}$ が成り立ち、$X_{\tau}$ は $\mathcal{F}_{\tau}$-可測関数である。
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[4]
イベント $A \in \mathcal{F}$ に対して、$\mathbb{1}_{A}$ は以下の3つのうちの1つとして表される。 $$ ( \mathbb{1}_{A} \le a ) = \begin{cases} \Omega &, a \ge 1 \\ A^{c} &, a \in [0,1) \\ \emptyset &, a < 0 \end{cases} $$ 従って、イベント $A = (\sigma = n)$ が与えられると、すべての ボレル集合 $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ に対して $\emptyset, (\sigma \ne n), \Omega \in \mathcal{F}_{\sigma}$ が成り立つため、$( \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \le a ) \in \mathcal{F}_{\sigma}$ である。言い換えると、$\mathbb{1}_{(\sigma = n)}$ は $\mathcal{F}_{\sigma}$-可測関数である。
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[5]
$$ Z_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} = \begin{cases} Z_{\sigma} \cdot 1 &, \sigma = n \\ 0 &, \sigma \ne 0 \end{cases} $$ したがって、$Z_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} = Z_{\sigma} \mathbb{1}_{(\sigma = n)}$ が成り立つ。[3]によると、$Z_{\sigma}$ は $\mathcal{F}_{\sigma}$-可測関数であり、[4]によると、$\mathbb{1}_{(\sigma = n)} $ もまた $\mathcal{F}_{\sigma}$-可測関数であるため、その積である $Z_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)}$ も $\mathcal{F}_{\sigma}$-可測関数である。
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[6]
$E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right)$ が $\mathcal{F}_{n}$-可測であるため、$E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{ \sigma = n}$ は [4]により $\mathcal{F}_{\sigma}$-可測である。一方で、$\mathbb{1}_{(\sigma=n)}$ は スムージング性質により $\mathcal{F}_{\sigma}$-可測関数であるため、$E ( \cdot | \mathcal{F}_{\sigma} )$ の内外を自由に行き来できる。
スムージング性質: $X$ が $\mathcal{G}$-可測であれば、$E(XY | \mathcal{G}) = X E (Y | \mathcal{G}) \text{ a.s.}$
条件付き期待値の性質: $X$ が $\mathcal{F}$-可測であれば、$E(X|\mathcal{F}) =X \text{ a.s.}$
その上で、上述の性質に従って、すべての $A \in \mathcal{F}_{\sigma}$ に対して $$ \begin{align*} \int_{A} E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{\sigma} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP =& \int_{A} E \left( X_{\tau} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} | \mathcal{F}_{\sigma} \right) dP \\ =& \int_{A} X_{\tau} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP \\ =& \int_{A \cap (\sigma = n)} X_{\tau} dP \\ =& \int_{A} X_{\tau} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP \\ =& \int_{A \cap (\sigma = n)} E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A } E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP \end{align*} $$ $\displaystyle \forall A \in \mathcal{F}, \int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.}$ であるため、 $$ E(X_{\tau} | \mathcal{F}_{\sigma} ) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} = E(X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} ) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \text{ a.s.} $$
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