置換公理形
📂集合論置換公理形
公理
∀X(∀x∈X∃!y(p(x,y))⟹∃Y∀x∈X∃y∈Y(p(x,y)))
すべての関数に対する値域が存在する。
説明
命題関数p(x,y)は確かに関数だが、厳密に言えばまだ関数として定義されておらず、たとえ関数として定義されたとしても、上の公理で言及されている関数そのものではない。論理式p(x,y)が言っていることは、x∈Xが与えられた時、y∈Yが存在するということだ:
- 例えば、pはp(x,y):y=2xのように与えられ、この場合存在する値域を持つその関数はf(x)=2xであって、p(x,y)ではない。置換公理形に従って、関数fに対するX=[0,1]の像Y=f[0,1]=[0,2]が存在するのである。
公理ではなく公理形と呼ばれる理由は、この公理が数え切れないほど多くのp(x,y)に対して数え切れないほど多く存在するからである。異なる二つの命題関数p1(x,y):y=sinxとp2(x,y):y=2xがある場合、Y=f2[0,1]=[0,2]の存在を保証するのは「p1(x,y)に対する置換公理」ではなく「p2(x,y)に対する置換公理」である。