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置換公理形 📂集合論

置換公理形

公理

X(xX!y(p(x,y))    YxXyY(p(x,y))) \forall X \left( \forall x \in X \exists ! y \left( p(x,y) \right) \implies \exists Y \forall x \in X \exists y \in Y \left( p(x,y) \right) \right) すべての関数に対する値域が存在する。


説明

命題関数p(x,y)p(x,y)は確かに関数だが、厳密に言えばまだ関数として定義されておらず、たとえ関数として定義されたとしても、上の公理で言及されている関数そのものではない。論理式p(x,y)p(x,y)が言っていることは、xXx \in Xが与えられた時、yYy \in Yが存在するということだ:

  • 例えば、ppp(x,y):y=2xp(x,y): y = 2xのように与えられ、この場合存在する値域を持つその関数はf(x)=2xf(x) = 2xであって、p(x,y)p(x,y)ではない。置換公理形に従って、関数ffに対するX=[0,1]X = [0,1]の像Y=f[0,1]=[0,2]Y = f [ 0 ,1] = [0,2]が存在するのである。

公理ではなく公理形と呼ばれる理由は、この公理が数え切れないほど多くのp(x,y)p(x,y)に対して数え切れないほど多く存在するからである。異なる二つの命題関数p1(x,y):y=sinxp_{1}(x,y): y = \sin xp2(x,y):y=2xp_{2}(x,y): y = 2xがある場合、Y=f2[0,1]=[0,2]Y = f_{2} [ 0,1] = [0,2]の存在を保証するのは「p1(x,y)p_{1}(x,y)に対する置換公理」ではなく「p2(x,y)p_{2}(x,y)に対する置換公理」である。