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行列関数、行列指数関数の定義

定義¹

$$ \mathbf{x}(t) = \begin{pmatrix} x_{1}(t) \\ \vdots \\ x_{n}(t) \end{pmatrix},\quad \mathbf{A}(t) = \begin{pmatrix} a_{11}(t) & \cdots & a_{1m}(t) \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1}(t) & \cdots & a_{nm}(t) \end{pmatrix} $$

行列の各要素が変数$t$の関数である場合、これを行列関数と呼ぶ。

• $\mathbf{A}(t)$の全要素、つまり全ての$a_{ij}$がある点（または区間）で連続であれば、$\mathbf{A}(t)$は連続であると言われる。

• $\mathbf{A}(t)$の全要素が微分可能であれば、$\mathbf{A}(t)$は微分可能であると言われる。$\mathbf{A}(t)$の導関数を$\dfrac{d \mathbf{A}(t)}{dt}$と表示し、以下のように定義する。

  $$ \frac{d \mathbf{A}}{dt} := \left[ \frac{d a_{ij}}{dt} \right] $$

• $\mathbf{A}(t)$の各要素の積分を要素として持つ行列を$\mathbf{A}(t)$の積分という。

  $$ \int_{a}^b\mathbf{A}(t) dt := \left[ \int_{a}^ba_{ij}(t)dt \right] $$

• 行列の指数関数$e^{(\cdot)t} : M_{n\times n} \to M_{n\times n}$を以下のように定義する。

  $$ e^{\mathbf{M} t}:=\sum \limits_{n=0}^\infty \frac{\mathbf{M}^n t^n}{n!}=\mathbf{I}+\mathbf{M}t + \frac{ \mathbf{M}^2t^2}{2!}+\frac{\mathbf{M}^3t^3}{3!}\cdots $$

説明

本質的にはベクトル値関数と変わりない。関数値のインデックスの次元が2つであるだけだ。

微分に関しては以下の性質を持つ。$\mathbf{A}(t)$、$\mathbf{B}(t)$が行列関数で、$\mathbf{C}$が定数行列の時、

$$ \frac{d}{dt}( \mathbf{CA})=\mathbf{C} \frac{ d \mathbf{A} }{dt} $$

$$ \frac{ d }{dt} ( \mathbf{A} + \mathbf{B})=\frac{ d \mathbf{A} }{dt} +\frac{d \mathbf{B}}{dt} $$

$$ \frac{d}{dt}(\mathbf{AB})=\mathbf{A}\frac{d \mathbf{B}}{dt}+\frac{d\mathbf{A}}{dt}\mathbf{B} $$

例

行列$\mathbf{A}(t)$が以下のようであるとする。

$$ \mathbf{A}(t) = \begin{pmatrix} \sin t & t \\ 1 & \cos t \end{pmatrix} $$

すると$\mathbf{A}(t)$は全区間で連続であり、微分と積分は以下のようになる。

$$ \mathbf{A}^{\prime}(t)=\begin{pmatrix} \cos t & 1 \\ 0 & -\sin t \end{pmatrix},\quad \int_{0}^\pi \mathbf{A}(t)dt=\begin{pmatrix} 2 & \pi^2/2 \\ \pi & 0 \end{pmatrix} $$

行列指数関数

定義通り、定数行列を指数の係数とする関数を行列指数関数と呼ぶ。しかしその定義を具体的に思い描こうとすると、以下のような考えが自然だろう。

$$ e^{\mathbf{A}t}:= \left( e^{a_{ij}t} \right)=\begin{pmatrix} e^{a_{11}t} &\cdots & e^{a_{1n}t} \\ \vdots & & \vdots \\ e^{a_{n1}t} & \cdots& e^{a_{nn}t} \end{pmatrix} $$

しかし、このように定義すると、指数関数の定義$\dfrac{d e^{t}}{dt} = e^{t}$を満たさない。級数の形で定義すると、以下のようにうまく満たすことが分かる。

$$ \begin{align*} \frac{d}{dt}\big( e^{\mathbf{A}t}\big) &=\frac{d}{dt}\left(\sum \limits_{n=0}^\infty \frac{\mathbf{A}^n t^{n}}{n!}\right) \\ &= \frac{d}{dt}\left( \mathbf{I}+\mathbf{A}t + \frac{ \mathbf{A}^2t^2}{2!}+\frac{\mathbf{A}^3t^3}{3!}\cdots \right) \\ &=\mathbf{A}+ \frac{\mathbf{A}^2t}{1!}+\frac{\mathbf{A}^3t^2}{2!}+\cdots \\ &= \mathbf{A} \left( \mathbf{I} + \mathbf{A}t + \frac{\mathbf{A}^2t^2}{2!}+\cdots \right) \\ &= \mathbf{A} \sum \limits_{n=0}^\infty \frac{\mathbf{A}^n t^n}{n!} \\ &=\mathbf{A} e^{\mathbf{A}t} \end{align*} $$