📂電磁気学

クーロンゲージとローレンツゲージ

概要¹

電位と電荷密度、電流密度の間には以下のような関係が成り立つ。

$$\begin{align*} \nabla ^2 V +\dfrac{\partial }{\partial t}(\nabla \cdot \mathbf{A}) &= -\frac{1}{\epsilon_{0}}\rho \\ \left( \nabla ^2 \mathbf{A}-\mu_{0}\epsilon_{0} \dfrac{\partial ^2 \mathbf{A} }{\partial t^2} \right) -\nabla\left( \nabla \cdot \mathbf{A} +\mu_{0}\epsilon_{0} \dfrac{\partial V}{\partial t}\right) &= -\mu_{0} \mathbf{J} \end{align*}$$

この時、電位に対する仮定をどのように設けるかによって、式が変わる。

クーロンゲージ

磁気静学のように、ベクトルポテンシャルのダイバージェンスを$0$とする。

$$\nabla \cdot \mathbf{A}=0$$

これにより、電荷密度に関する式をスカラーポテンシャルについてだけ表すことができる。つまり、ポアソン方程式となる。

$$\nabla^{2} V = -\frac{1}{\epsilon_{0}}\rho$$

長所はスカラーポテンシャル$V$を計算しやすいことであり、短所はベクトルポテンシャル$\mathbf{A}$を計算しにくいことである。ベクトルポテンシャル$\mathbf{A}$は下の式で求めることができる。

$$\nabla^{2} \mathbf{A} - \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}} = -\mu_{0} \mathbf{J} + \mu_{0} \epsilon_{0} \nabla \left( \frac{\partial V}{\partial t} \right)$$

ローレンツゲージ

ベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$の発散を以下のように設定する。

$$\nabla \cdot \mathbf{A} = -\mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial V}{\partial t}$$

すると、スカラーポテンシャル$V$とベクトルポテンシャル$\mathbf{A}$が分離されて、同じ形の式で表現される。

$$\nabla^{2} V - \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial^{2} V}{\partial t^{2}} = -\frac{1}{\epsilon_{0}} \rho$$

$$\nabla^{2} \mathbf{A} - \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}} = -\mu_{0} \mathbf{J}$$

この時、ダランベルシアン^{ダランベルシアン、ダランベール演算子}を使用すると、より簡単な形で表すことができる。ダランベルシアンは以下のように定義される。

$$\Box^{2} := \nabla^{2} - \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}$$

ダランベルシアンを使用すると、

$$\Box^{2} V = -\frac{1}{\epsilon_{0}}\rho$$

$$\Box^{2} \mathbf{A} = -\mu_{0}\mathbf{J}$$

関連項目

• ゲージ変換