条件付き単調収束定理の証明
定理
確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ が与えられているとする。
確率変数のシーケンス $\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ と$X \in \mathcal{L}^{1} (\Omega)$について $$ X_{1} \le X_{2} \le \cdots \le X \\ X_{n} \to X \text{ a.s.} $$ ならば $$ \lim_{n \to \infty} E( X_{n} | \mathcal{G} ) = E( \lim_{n \to \infty} X_{n} | \mathcal{G} ) \text{ a.s.} $$
- $\text{a.s.}$ はほとんど確実にを意味する。
説明
条件付き単調収束定理は、単に単調収束定理mCTが条件付き期待値に対しても同様に適用されると言っているだけで、確率論での役割もMCTと同じである。
証明
戦略：単調収束定理を利用して$\displaystyle \int$の内外に$\displaystyle \lim_{n \to \infty}$をはさみ込み、期待値の定義を調整して$E$を足したり消したりしながら、被積分関数を同じにする。
パート1. $X_{1} \ge 0$
単調収束定理により、全ての$A \in \mathcal{G}$に対して $$ \begin{align*} \int_{A} \lim_{n \to \infty} E( X_{n} | \mathcal{G} ) dP \color{red}{=}& \lim_{n \to \infty} \int_{A} E( X_{n} | \mathcal{G} ) dP \\ =& \lim_{n \to \infty} \int_{A} X_{n} dP \\ \color{red}{=}& \int_{A} \lim_{n \to \infty} X_{n} dP \\ =& \int_{A} E( \lim_{n \to \infty} X_{n} | \mathcal{G} ) d P \end{align*} $$ である。$ $\displaystyle \forall A \in \mathcal{F}, \int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.}$ 이므로 $$ \lim_{n \to \infty} E( X_{n} | \mathcal{G} ) = E( \lim_{n \to \infty} X_{n} | \mathcal{G} ) \text{ a.s.} $$
Part 2. $X_{1} < 0$
$Y_{n} := X_{n} - X_{1}$ 이 확률 변수 $Y = X - X_{1}$ 에 대해 $Y_{n} \nearrow Y$ 라고 하면 $Y_{1} \ge 0$ なので、パート1.により $$ \lim_{n \to \infty} E( Y_{n} | \mathcal{G} ) = E( \lim_{n \to \infty} Y_{n} | \mathcal{G} ) \text{ a.s.} $$ である。それにより、条件付き期待値の線形性から次を得る。 $$ \begin{align*} \lim_{n \to \infty} E( X_{n} | \mathcal{G} ) =& \lim_{n \to \infty} E( Y_{n} + X_{1} | \mathcal{G} ) \\ =& \lim_{n \to \infty} E( Y_{n} | \mathcal{G} ) + E( X_{1} | \mathcal{G} ) \\ =& E( X - X_{1} | \mathcal{G} ) + E( X_{1} | \mathcal{G} ) \\ =& E( X - X_{1} + X_{1} | \mathcal{G} ) \\ =& E( \lim_{n \to \infty} X_{n} | \mathcal{G} ) \text{ a.s.} \end{align*} $$
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