ガンマ分布の平均と分散
公式
確率変数 $X$ が ガンマ分布 $\Gamma \left( k , \theta \right)$ に対して $X \sim \Gamma \left( k , \theta \right)$ だとする。 $$ E(X) = k \theta \\ \text{Var} (X) = k \theta^{2} $$
導出
戦略: ガンマ分布の定義とガンマ関数の基本的な性質を使って直接演繹する。 $x$ の次数が変わるため、係数の分子分母を合わせるトリックを使う。
ガンマ分布の定義: $k, \theta > 0$ に対して次の確率密度関数を持つ連続確率分布 $\Gamma ( k , \theta )$ を ガンマ分布という。 $$ f(x) = {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} x^{k - 1} e^{ - x / \theta} \qquad , x > 0 $$
ガンマ関数の再帰公式: $$ \Gamma (p+1)=p\Gamma (p) $$
平均
$$ \begin{align*} E(X) =& \int _{0} ^{\infty} x { 1 \over { \Gamma ( k ) \theta^k } } x^{k– 1} e^{ - {{x} \over {\theta }} } dx \\ =& \int _{0} ^{\infty} { {k \theta} \over { \Gamma (k+1) \theta^{k+1} } } x^{k} e^{ - {{x} \over {\theta}} } dx \\ =& {k \theta} \end{align*} $$
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分散
$$ \begin{align*} E( X^2 ) =& \int _{0} ^{\infty} x^2 { 1 \over { \Gamma (k) \theta^k} } x^{k– 1} e^{ - {{x} \over {\theta}} } dx \\ =& \int _{0} ^{\infty} { {k (k+ 1) \theta^2 } \over { \Gamma (k+2) \theta^{k+2} } } x^{k+1} e^{ - {{x} \over {\theta}} } dx \\ =& {k^2 \theta^2 + k \theta^2} \end{align*} $$ したがって $$ \begin{align*} \text{Var}(X) =& (k^2 \theta^2 + k \theta^2) - (k \theta)^2 \\ =& k \theta^2 \end{align*} $$
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