📂集合論

集合と命題関数の定義

定義 ¹

1. 集合: 我々の直感や思考の対象として互いに明確に区別される対象の集まりを集合という。
2. 要素: 集合に含まれる対象を要素という。
3. 命題関数: 集合$U$の要素$x$に対して真または偽のいずれかである命題$p(x)$を$U$の命題関数という。

説明

1. 数学で集合はほとんど母国言語に匹敵するほど重要な概念だ。自然言語よりも優れているかもしれない。なぜなら、必然的についてくる曖昧さを排除して、その定義と形式だけで論理を展開できるからだ。
2. 通常、要素は小文字で、集合は大文字で表される。$a$が$A$に属している場合、$a \in A$と表され**$a$は$A$の要素**と言われる。もちろん、要素と集合を必ずアルファベットの大文字と小文字で表示する必要はない。全ての自然数の集合は通常$\mathbb{N}$と表示され、$N \in \mathbb{N}$のように表示しても何の問題もない。
   1. 列挙: 自然数の集合$\mathbb{N}$は$\left\{ 1 , 2, 3, \cdots \right\}$のように表すことができる。こうして集合の要素を直接書き出して表示する表記法を列挙法という。
   2. 条件表示法: 列挙法とは異なり、特定の条件を満たす要素のみを集めた集合として表現することもできる。例えば、$5$より大きい自然数のみを持つ集合を表現したい場合には、命題関数$p(x): x > 5$に対して$\left\{ x \in \mathbb{N} : p(x) \text{ is truth} \right\}$のように表現される。これをさらに簡単に、命題関数を別に定義せずに$\left\{ x \in \mathbb{N} : x > 5 \right\}$のように表現する。この表記法を条件表示法という。
3. 命題関数は命題関数そのものとして定義される点に注意する必要がある。集合論で語る関数の定義に合致しているが、命題のみで定義できるというのが重要だ。この点が不明確な場合、関数が関数として循環定義される事態になりかねず、条件表示法の自由な使用が困難になる。一方、命題関数は論理式とも呼ばれる。