📂測度論

ラドン-ニコディムの定理の証明

定理 ¹

可測空間 $( \Omega , \mathcal{F} )$の２つのシグマ有限測度 $\nu$と$\mu$が$\nu \ll \mu$を満たす場合、全ての$A \in \mathcal{F}$に対して、$\mu$にほとんどいたる所で$h \ge 0$を満たす一意的な$\mathcal{F}$-可測関数$h$が存在する。 $$\nu (A) = \int_{A} h d \mu$$

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• $\mu$にほとんどいたる所で$h$があるということはほとんど至る所で$\mu \left( h^{-1} ( -\infty , 0 ) \right) = 0$という意味であり、$\nu (A) \ll \mu (A)$は$\nu$が$\mu$に対して絶対連続であることを意味し、全ての$A \in \mathcal{F}$に対して次が成り立つ。$$\mu (A) =0 \implies \nu (A) =0$$

表明

ルベーグ積分の性質に従えば$\displaystyle \nu (A) = \int_{A} \mathbb{1}_{A} d \nu$があるが、別の測度$\mu$をもってきても$\nu (A) = \int_{A} h d \mu$を満たすように中継する$h$が一意に存在し、それが具体的に何であるかも見つかっている。この定理の$h$をラドン・ニコディム微分と呼ぶ。ラドン・ニコディム定理は、直ちに確率論で条件付き期待値の存在性を保証し、その重要性は非常に大きいと断言できる。

証明

まず$\mu ( \Omega ) = \nu ( \Omega ) < \infty$、つまり$\nu$と$\mu$が有限測度であると仮定する。

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パート1. $\displaystyle \int_{\Omega} g d \mu = \int_{\Omega} g h_{\mu} d \varphi$

$( \Omega , \mathcal{F} )$の２つの有限測度$\mu$と$\varphi$が$0 \le \mu \le \varphi$を満たすとする。任意の$\mathcal{F}$-可測関数$g \ge 0$に対して$\displaystyle \int_{\Omega} g d \mu$を計算するために、以下のように$n$個の有限な関数値を持ち$g$との距離が最小になるように単純関数$g_{n}$を定義する。 $$g_{n} := \sum_{k=1}^{n} a_{k} \mathbb{1}_{A_{k}} = \argmin | g - G |$$ ここで、$\mathcal{Q}_{n} := \left\{ A_{k} \right\}_{k=1}^{n}$は全ての$n$に対する$\Omega$の分割であり、$\mathcal{Q}_{n+1}$を$\mathcal{Q}_{n}$の細分とする。定義により、$g_{n} \nearrow g$ならば $$\begin{align*} \int_{\Omega} g_{n} d \mu =& \int_{\Omega} \sum_{k=1}^{n} a_{k} \mathbb{1}_{A_{k}} d \mu \\ =& \sum_{k=1}^{n} a_{k} \int_{A_{k}} \mathbb{1}_{A_{k}} d \mu \\ =& \sum_{k=1}^{n} a_{k} \mu (A_{k}) \\ =& \sum_{k=1}^{n} a_{k} {{ \mu (A_{k}) } \over { \varphi (A_{k}) }} \varphi (A_{k}) \\ =& \sum_{k=1}^{n} a_{k} {{ \mu (A_{k}) } \over { \varphi (A_{k}) }} \int_{A_{k}} \mathbb{1}_{A_{k}} d \varphi \\ =& \sum_{k=1}^{n} \int_{A_{k}} a_{k} \mathbb{1}_{A_{k}} {{ \mu (A_{k}) } \over { \varphi (A_{k}) }} d \varphi \\ =& \int_{\Omega} g_{n} {{ \mu } \over { \varphi }} d \varphi \end{align*}$$

単調収束定理: 関数値が非負の可測関数の列$\left\{ f_{n} \right\}$が$f_{n} \nearrow f$を満たす場合、 $$\lim_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm = \int_{E} f dm$$

ラドン・ニコディム微分: 任意の$n \in \mathbb{N}$に対して、$\mathcal{Q}_{n+1}$が$\mathcal{Q}_{n}$の細分ならば $$\lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}} = \lim_{n \to \infty} {{\nu} \over {\mu}} = {{d \nu } \over {d \mu }}$$

すると、単調収束定理とラドン・ニコディム微分の性質により $$\begin{align*} \int_{\Omega} g d \mu =& \lim_{n \to \infty} \int_{\Omega} g_{n} d \mu \\ =& \lim_{n \to \infty} \int_{\Omega} g_{n} {{ \mu } \over { \varphi }} d \varphi \\ =& \int_{\Omega} g {{d \mu } \over {d \varphi }} d \varphi \end{align*}$$

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パート2. $h$の存在

$\varphi = \nu + \mu$とすると、明らかに$0 \le \nu \le \varphi$であり、したがって$0 \le \mu \le \varphi$なので、パート1の条件で$\varphi$が$\nu$と$\mu$よりも大きいことが満たされ、ラドン・ニコディム微分$\displaystyle h_{\mu} = {{ d \mu } \over { d \varphi }}$、$\displaystyle h_{\nu} = {{ d \nu } \over { d \varphi }}$をうまく定義できる。$\mathcal{F}$から２つの集合 $$\begin{align*} F &:= \left\{ \omega \in \Omega : h_{\mu} (\omega) > 0 \right\} \\ G &:= \left\{ \omega \in \Omega : h_{\mu} (\omega) = 0 \right\} \end{align*}$$ を考える。$F$の部分集合$A \subset F$に対して$\displaystyle h := \mathbb{1}_{A} {{ h_{\nu} } \over { h_{\mu} }}$と定義すると、パート1により $$\begin{align*} \nu (A) =& \int_{A} \mathbb{1}_{A} d \nu \\ =& \int_{A} \mathbb{1}_{A} {{ d \nu } \over { d \varphi }} d \varphi \\ =& \int_{A} \mathbb{1}_{A} h_{\nu} {{ h_{\mu} } \over { h_{\mu} }} d \varphi \\ =& \int_{A} \mathbb{1}_{A} {{ h_{\nu} } \over { h_{\mu} }} h_{\mu} d \varphi \\ =& \int_{A} h h_{\mu} d \varphi \\ =& \int_{A} h d \mu \end{align*}$$ であり、$G$の定義により、$\displaystyle \mu (G) = \int_{G} h_{\mu} d \varphi = 0$ならば前提から$\nu \ll \mu$なので、$\mu (G) = 0 \implies \nu (G) = 0$である。したがって、$h$は$\nu (A) = \int_{A} h d \mu$を満たす。

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パート3. $h$の一意性

$$\int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.}$$

$A \in \mathcal{F}$に対して$\nu (A) = \int_{A} f d \mu$を満たす$f = g$と$f = h$が存在する場合、 $$\begin{align*} 0 =& \nu (A) - \nu (A) \\ =& \int_{A} h d \mu - \int_{A} g d \mu \\ =& \int_{A} (h - g ) d \mu \end{align*}$$ したがってほとんど至る所で$h = g$である。

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パート4. シグマ有限測度への一般化

今、$\nu$と$\mu$がシグマ有限測度であると仮定する。 $$A_{k} \in \mathcal{F} \\ \nu (A_{k}) < \infty \\ \mu (A_{k}) < \infty \\ i \ne j \implies A_{i} \cap A_{j} = \emptyset \\ X = \bigcup_{k \in \mathbb{N}} A_{k}$$ 上述の条件を満たす集合のシーケンス$\left\{ A_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$と$E \in \mathcal{F}$を固定し、$E \cap A_{k}$における有限測度を新たに定義する。 $$\nu_{k} (E) := \nu ( E \cap A_{k} ) \\ \mu_{k} (E) := \mu ( E \cap A_{k} )$$ すると、パート1~3に従って、全ての$k \in \mathbb{N}$に対して以下を満たす$h_{k}$が存在する。 $$\nu_{k} (E) = \int_{E} h_{k} d \mu_{k}$$ $\nu_{k}$、$\mu_{k}$の定義により、$\nu_{k} \left( A_{k}^{c} \right) = \mu_{k} \left( A_{k}^{c} \right) = 0$なので、$\displaystyle \nu_{k} (A_{k}^{c}) - \int_{A_{k}^{c}} h_{k} d \mu_{k} = 0 - 0$が成立し、全ての$k \in \mathbb{N}$に対して$h_{k} (A_{k}^{c}) = 0$が保証される。それに応じて、$\displaystyle h := \sum_{k \in \mathbb{N}} h_{k}$を定義すると $$\begin{align*} \nu (E) =& \sum_{k \in \mathbb{N}} \nu_{k} (E) \\ =& \sum_{k \in \mathbb{N}} \int_{E} h_{k} d \mu_{k} \\ =& \int_{E} h d \mu \end{align*}$$

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