測度の一般的な定義
定義
可測空間 $(X,\mathcal{E})$が与えられたとしよう。以下の三条件を満たす拡張実数値を持つ関数$\mu : \mathcal{E} \to \overline{\mathbb{R}}$を測度だという。
(a) $\mu ( \varnothing ) = 0$
(b) $\mu (E) \ge 0,\quad \forall E\in \mathcal{E}$
(c) $\left\{E_{j}\right\}$を$\mathcal{E}$の中で互いに素な集合の数列としよう。すると、次が成り立つ。
$$ \mu \left( \bigcup _{j=1}^\infty E_{j} \right) =\sum \limits_{j=1}^\infty \mu (E_{j}) $$
順序対$(X,\mathcal{E}, \mu)$を測度空間という。
二つの集合 $E_{1}$、$E_2$が$E_{1} \cap E_2=\varnothing$を満たすならば、$E_{1}$と$E_2$は互いに素の集合と言う。
説明
$\mu$の条件を$\mu\ :\ \mathcal{E} \rightarrow [0,\infty]$に変えると**(b)**を含むので、省略できる。
条件**(c)**は、簡単に言えば可算加法性だ。注意すべき点は、互いに素な集合に対してのみ成立するということだ。
符号付き測度と測度を一緒に言及する場合、強調のために測度を正の測度とも呼ぶ。
性質
$(X,\mathcal{E},\mu)$を測度空間としよう。
(A) 単調性: $E,F\in \mathcal{E}$かつ$E\subset F$ならば、$\mu (E) \le \mu (F)$である。
(B) 可算準加法性: $\left\{ E_{j} \right\}_{1}^\infty$が$\mathcal{E}$の元の数列ならば、$\mu \left( \bigcup_{1}^\infty E_{j} \right) \le \sum _{1}^\infty \mu (E_{j})$である。
(C) 下からの連続性: $\left\{ E_{j} \right\}_{1}^\infty \subset \mathcal{E}$が単調増加数列であるとする。つまり$E_{1} \subset E_2 \subset \cdots$。すると、次が成り立つ。 $$ \mu\left( \bigcup \nolimits _{1}^\infty E_{j} \right)= \lim \limits_{j\rightarrow \infty} \mu (E_{j}) $$
(D) 上からの連続性: $\left\{ E_{j} \right\}_{1}^\infty \subset \mathcal{E}$が単調減少数列であるとする。つまり$E_{1} \supset E_2 \supset \cdots$。そして$\mu (E_{1})<\infty$とする。すると、次が成り立つ。 $$ \mu\left(\bigcap \nolimits _{1}^\infty E_{j} \right)= \lim \limits_{j\rightarrow \infty} \mu (E_{j}) $$
証明
(A)
$E \subset F$とする。すると$F=F\setminus E+ E$が成り立つ。$E$と$F\setminus E$は互いに素なので、測度の定義**(c)**により、次が成り立つ。
$$ \mu (F) = \mu (F\setminus E+ E) = \mu (F\setminus E) + \mu (E) $$
すると、測度の定義**(b)**によって、次が成り立つ。
$$ \mu (F\setminus E) + \mu (E) \ge \mu (E) $$
だから、次が得られる。
$$ \mu (F) \ge \mu (E) $$
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(B)
$F_{1}=E_{1}$としよう。そして、$k>1$に対して$F_{k}=E_{k} \setminus \left( \bigcup_{1}^{k-1} E_{j} \right)$としよう。すると、各々の$F_{k}$は互いに素で、$\bigcup_{1}^n F_{j}=\bigcup_{1}^n E_{j},\ \forall n$である。また、各々の$j$に対して$F_{j} \subset E_{j}$である。だから、次が成り立つ。
$$ \mu \left( \bigcup \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right)=\mu \left( \bigcup \nolimits_{1}^\infty F_{j}\right)=\sum \limits_{1}^\infty \mu (F_{j}) \le \sum \limits_{1}^\infty\mu (E_{j}) $$
二番目の等号は測度の定義**(c)によって成り立つ。最後の不等式は(A)**によって成り立つ。
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(C)
$E_{0}:= \varnothing$としよう。そして、$F_{j}=E_{j}\setminus E_{j-1}$としよう。すると、各々の$F_{j}$は互いに素である。また、$\bigcup _{1}^\infty F_{j} =\bigcup_{1}^\infty E_{j}$が成り立つ。だから、次が成り立つ。
$$ \begin{align*} \mu \left( \bigcup \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right) &= \mu \left( \bigcup \nolimits_{1}^\infty F_{j}\right) \\ &= \sum_{1}^\infty \mu (F_{j}) \\ &= \sum \limits_{1}^\infty \mu (E_{j} \setminus E_{j-1} ) \\ &= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum \limits_{1} ^n \mu (E_{j}\setminus E_{j-1} ) \\ &= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \mu (E_{n}) \\ &= \lim \limits_{j \rightarrow \infty} \mu (E_{j}) \end{align*} $$
二番目の等号は測度の定義**(c)**によって成り立つ。
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(D)
$F_{j}=E_{1} \setminus E_{j}$としよう。すると、$F_{1} \subset F_2 \subset \cdots$が成り立つ。また、$\mu (E_{1})=\mu (F_{j})+\mu (E_{j})$で、$\bigcup_{1}^\infty F_{j}=E_{1} \setminus \left( \bigcap_{1}^\infty E_{j} \right)$が成り立つ。$E_{1}= \bigcup_{1}^\infty F_{j}+\bigcap_{1}^\infty E_{j}$なので、次が成り立つ。
$$ \begin{align*} \mu (E_{1}) &= \mu \left( \bigcap \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right) + \mu \left( \bigcup \nolimits _{1}^\infty F_{j} \right) \\ &= \mu \left( \bigcap \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right) + \lim \limits_{j \rightarrow \infty} \mu ( F_{j} ) \\ &= \mu \left( \bigcap \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right) + \lim \limits_{j \rightarrow \infty}\big[ \mu ( E_{1} )-\mu (E_{j}) \big] \\ &= \mu ( E_{1} )+ \mu \left( \bigcap \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right) -\lim \limits_{j \rightarrow \infty}\mu (E_{j}) \end{align*} $$
二番目の等号は**(C)**によって成り立つ。$\mu (E_{1}) < \infty$なので、次が得られる。
$$ \mu \left( \bigcap \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right) = \lim \limits_{j \rightarrow \infty}\mu (E_{j}) $$
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