アイゼンシュタイン環のノルム
定理
アイゼンシュタイン環における$\mathbb{Z}[ \omega ]$について、関数$N : \mathbb{Z}[\omega] \to \mathbb{Z}$を考えてみよう。
- [1]: $N(x + \omega y) := x^2 - xy + y^2$と定義すると、$N$は$\mathbb{Z}[ \omega ]$の乗法的ノルムになる。
- [2]: $\mathbb{Z}[ \omega ]$はユークリッドドメインである。
- [3]: $\mathbb{Z}[ \omega ]$の単位元は$\pm 1, \pm \omega, \pm \omega^2 $だけである。
説明
アイゼンシュタイン整数は[抽象代数](../../categories/abstract algebra)の助けを借りるとはるかに容易に研究できる。積分ドメインで定義されるノルム$N$で[2]を証明すると、EDがUFDであるため、アイゼンシュタイン素数に拡張された算術の基本定理がほぼそのまま証明されることになる。これは、算術の基本定理を代数的に説明することと似ている$\mathbb{Z}$がUFDであると。
証明
[1]
- (i): $N (\alpha) = 0 \iff \alpha = 0$
- (ii): $N ( \alpha \beta ) = N ( \alpha ) N ( \beta )$
$N$が乗法的ノルムになり、実際に$\mathbb{Z}[ \omega ]$がIDになることを示せばよい。ノルムが定義されている必要がある定理は必要ないので、まずIDであることを示す必要はない。$a,b,c,d \in \mathbb{Z}$に対して$\alpha := a + \omega b$、$\beta := c + \omega d$としよう。
Part (i). $N (\alpha) = 0 \iff \alpha = 0$
$a := (A+B)$、$b:= (A-B)$とすると $$ \begin{align*} & N(\alpha) = a^2 - ab+ b^2 = 0 \\ \iff & (A+B)^2 - (A+B)(A-B) + (A-B)^2 = 0 \\ \iff & A^2 + 3 B^2 = 0 \\ \iff & A = B = 0 \\ \iff & a = b = 0 \\ \iff & \alpha = a + \omega b = 0 \end{align*} $$
Part (ii). $N ( \alpha \beta ) = N ( \alpha ) N ( \beta )$
アイゼンシュタイン整数同士の積は$( a + \omega b )( c + \omega d) = (ac - bd) + \omega (ad - bd + bc)$として計算されるので $$ \begin{align*} N ( \alpha \beta ) =& N \left( ac - bd + \omega (ad -bd + bc) \right) \\ =& (ac - bd)^2 - (ac -bd)(ad - bd + bc) + (ad - bd + bc)^2 \\ =& (ac -bd)( ac -ad - bc) + (ad - bd + bc)^2 \\ =& (ac -bd)( ac -K ) + (K - bd )^2 \\ =& a^2 c^2 - acbd - acK + bdK + k^2 - 2Kbd + bd^2 \\ =& a^2 c^2 - acbd - acK - bdK + k^2 + bd^2 \\ =& a^2 c^2 - acbd - (ac + bd)(ad + bc) + (ad + bc)^2 + bd^2 \\ =& a^2 c^2 - acbd -a^2 c d - a b c^2 - abd^2 - b^2 c d +a^2 d^2 + 2 adbc + b^2 c^2 + bd^2 \\ =& a^2 c^2 - a^2 c d + a d^2 - abc^2 + abcd - abd^2 + b^2 c^2 - b^2 c d + b^2 d^2 \\ =& (a^2 - ab + b^2)(c^2 - cd + d^2) \\ =& N ( \alpha ) N ( \beta ) \end{align*} $$ ここで、$K := (ad + bc)$である。
Part 3. $Z[ \omega ]$はIDである
$\alpha$、$\beta$が$0 \in \mathbb{Z}[ \omega ]$ではなくても$\alpha \beta = 0$とする。すると、Part (i)～(ii)に従って $$ N(\alpha) N(\beta) = N(\alpha \beta ) = N(0) = 0 $$ となる。$N(\alpha)$、$N(\beta)$は積分ドメイン$\mathbb{Z}$の要素なので、$N(\alpha) N(\beta) = 0$を満たすためには$N(\alpha)$または$N(\beta) $のどちらかが$0$である必要があるが、これは仮定に矛盾するので、$Z[ \omega ]$も積分ドメインである。
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[2]
- (i): 全ての$a,b \in D (b \ne 0 )$に対して、$q$と$r$が存在し$a = bq + r$を満たす必要がある。このとき、$r = 0$または$\nu (r) < \nu (b)$のどちらかを満たさなければならない。
- (ii): 全ての$a,b \in D (b \ne 0 )$に対して$\nu ( a ) \le \nu ( ab )$
$\nu := N$とし、$N$が$\mathbb{Z}[ \omega ]$のユークリッドノルムになることを示せばよい。$\beta \ne 0$としよう。
Part (i). $\exists \sigma, \rho : \alpha = \beta \sigma + \rho$
ある$r, s \in \mathbb{Q}$に対して$\displaystyle {{ \alpha } \over { \beta }} = r + \omega s$とする。$r, s$に近い整数$q_{1} , q_{2} \in \mathbb{Z}$について、次のように$\sigma$と$\rho$を設定する。 $$ \sigma := q_{1} + \omega q_{2} \\ \rho := \alpha - \beta \sigma $$
- Case 1. $\rho = 0$
$\alpha = \beta \sigma$であるため、これ以上示すことはない。$\displaystyle \sigma = {{ \alpha } \over { \beta }} = q_{1} + \omega q_{2}$と$\rho = 0$を見つけた。 - Case 2. $N ( \rho ) < N ( \beta )$
$q_{1}$と$q_{2}$の定義により $$ | r - q_{1} | \le {{1} \over {2}} \\ | s - q_{2} | \le {{1} \over {2}} $$ したがって $$ \begin{align*} N \left( {{ \alpha } \over { \beta }} - \sigma \right) =& N \left[ (r + \omega s) - (q_{1} + \omega q_{2}) \right] \\ =& N \left[ (r - q_{1} ) + \omega ( s - q_{2}) \right] \\ =& (r - q_{1})^2 - (r - q_{1}) (s - q_{2}) + (s - q_{2})^2 \\ \le & |r - q_{1}|^2 + | r - q_{1} | | s - q_{2} | + | s - q_{2} |^2 \\ \le & \left( {{1} \over {2}} \right)^2 + \left( {{1} \over {2}} \right) \left( {{1} \over {2}} \right) + \left( {{1} \over {2}} \right)^2 \\ =& {{3} \over {4}} \end{align*} $$ これにより $$ \begin{align*} N ( \rho ) =& N(\alpha - \beta \sigma ) \\ =& N \left( \beta \left( {{ \alpha } \over { \beta }} - \sigma \right) \right) \\ =& N (\beta) N \left( {{ \alpha } \over { \beta }} - \sigma \right) \\ \le & N(\beta) {{3} \over {4}} \\ \le & N (\beta) \end{align*} $$ 従って、$\rho = 0$または$N(\rho) \le N (\beta)$を満たす$\rho$、$\sigma$の存在を保証できる。
Part (ii). $N ( \alpha ) \ge N ( \alpha ) N ( \beta )$
$\beta \ne 0 \implies N ( \beta ) \ge 1$であるため $$ \begin{align*} N ( \alpha ) \le & N ( \alpha) \cdot 1 \\ \le & N(\alpha) N(\beta) \\ =& N ( \alpha \beta ) \end{align*} $$
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[3]
乗法的ノルムの性質に従って、$N(1) = 1$であり、$u \in \mathbb{Z}[ \omega ]$が単位元ならば、$| N ( u ) | = 1$であるので、対偶によって$| N(u) | = 1$でないならば、$u$は単位元ではない。$u := x + \omega y$に対して$N(u) = x^2 - xy + y^2 = 1$を満たす場合は $$ \begin{align*} e^{0 \pi i / 3 } =& 1 \\ e^{1 \pi i / 3 } =& - \omega^2 \\ e^{2 \pi i / 3 } =& \omega \\ e^{3 \pi i / 3 } =& -1 \\ e^{4 \pi i / 3 } =& \omega^2 \\ e^{5 \pi i / 3 } =& - \omega \end{align*} $$ つまり、$u \in \left\{ \pm 1, \pm \omega, \pm \omega^2 \right\}$のときだけである。
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