動く点電荷が作る電場
📂電磁気学動く点電荷が作る電場
概要

動く点電荷が作る電磁場は次の通りだ。
E(r,t)B(r,t)=4πϵ0q(
⋅u)3
[(c2−v2)u+
×(u×a)]=c1
×E(r,t)
説明
電場についての誘導過程を紹介する。
誘導
動く点電荷が作る電場、磁場はリエナール-ビーケルト電位を使って求めることができる。
V(r,t)=4πϵ01(
c−
⋅v)qc,A(r,t)=c2vV(r,t)
さらに電磁場は下の式で求めることができる。
E=−∇V−∂t∂A,B=∇×A
∇Vと∂t∂Aを順に求めてみよう。まず∇Vを計算してみると
∇V=4πϵ0qc∇(
c−
⋅v)1
この時dxd(f(x)1)=[f(x)]2−1f′(x)なので
∇V=4πϵ0qc(
c−
⋅v)2−1∇(
c−
⋅v)
従って∇
と∇(
⋅v)を計算すればいい。まず∇(
⋅v)から計算してみると乗法規則2によって
∇(
⋅v)=(
⋅∇)v+(v⋅∇)
+
×(∇×v)+v×(∇×
)
第一項
(
⋅∇)v=(
x∂x∂+
y∂y∂+
z∂z∂)v=
xdtrdv∂x∂tr+
ydtrdv∂y∂tr+
zdtrdv∂z∂tr=dtrdv(
x∂x∂tr+
y∂y∂tr+
z∂z∂tr)=a(
⋅∇tr)
ここでaは遅れ時間での粒子(点電荷)の加速度だ。
第二項
=r−wなので
(v⋅∇)
=(v⋅∇)r−(v⋅∇)w
任意のベクトルA=(Ax,Ay,Az)に対して
(A⋅∇)r=(Ax∂x∂+Ay∂y∂+Az∂z∂)(xx^+yy^+zz^)=Axx^+Ayy^+Azz^=A
そして
(A⋅∇)w(tr)=(Ax∂x∂+Ay∂y∂+Az∂z∂)w=Ax∂x∂w+Ay∂y∂w+Az∂z∂w=Ax∂tr∂w∂x∂tr+Ay∂tr∂w∂y∂tr+Az∂tr∂w∂z∂tr=Axv∂x∂tr+Ayv∂y∂tr+Azv∂z∂tr=v(Ax∂x∂tr+Ay∂y∂tr+Az∂z∂tr)=v(A⋅∇tr)
なので(3)は
(v⋅∇)
=v−v(v⋅∇tr)
第三項
まず次が成り立つ。
∇×v=(∂y∂vz−∂z∂vy)x^+(∂z∂vx−∂x∂vz)y^+(∂x∂vy−∂y∂vx)z^=(∂tr∂vz∂ytr−∂tr∂vy∂ztr)x^+(∂tr∂vx∂ztr−∂tr∂vz∂xtr)y^+(∂tr∂vy∂xtr−∂tr∂vx∂ytr)z^=(az(∇tr)y−ay(∇tr)z)x^+(ax(∇tr)z−az(∇tr)x)y^+(ay(∇tr)x−ax(∇tr)y)z^=−a×∇tr
従って
×(∇×v)=−
×(a×∇tr)
第四項
=r−wであり、∇×r=0なので
∇×
=∇×r−∇×w=−∇×w
上で計算した∇×v=−a×∇trの結果を利用すると∇×w=−v×∇trであることが分かる。従って
v×(∇×
)=v×(−∇×w)=v×(v×∇tr)
これで上の計算結果を(2)に代入すると
∇(
⋅v)=a(
⋅∇tr)+v−v(v⋅∇tr)−
×(a×∇tr)+v×(v×∇tr)=a(
⋅∇tr)+v−v(v⋅∇tr)−[a(
⋅∇tr)−∇tr(
⋅a)]+[v(v⋅∇tr)−∇tr(v⋅v)]=v+∇tr(
⋅a)−∇tr(v⋅v)=v+(
⋅a−v2)∇tr
2番目の等号はBAC-CAB公式により成立する。
結論
=c(t−tr)なので∇
=−c∇trである。これと(4)を(1)に代入すると
∇V=4πϵ0qc(
c−
⋅v)2−1∇(
c−
⋅v)=4πϵ0qc(
c−
⋅v)2−1[c∇
−∇(
⋅v)]=4πϵ0qc(
c−
⋅v)2−1[−c2∇tr−v−(
⋅a−v2)∇tr]=4πϵ0qc(
c−
⋅v)21[v+(c2−v2+
⋅a)∇tr]
そして遅れ時間の勾配は下の通りだ。
∇tr=
c−
⋅v−
これを(5)に代入すると
∇V=4πϵ0qc(
c−
⋅v)21[v+(c2−v2+
⋅a)∇tr]=4πϵ0qc(
c−
⋅v)21[v+(c2−v2+
⋅a)
c−
⋅v−
]=4πϵ0qc(
c−
⋅v)31[(
c−
⋅v)v−(c2−v2+
⋅a)
]
最後に∂t∂Aを求めれば終わりだ。計算してみると結果は下の通りだ。
∂t∂A=4πϵ0qc(
c−
⋅v)31[(
c+
⋅v)(
a/c−v)+c
v(c2−v2+
⋅a)]
u≡c
−vとして整理すると
E(r,t)=−∇V−∂t∂A=4πϵ0q(
⋅u)3
[(c2−v2)u+u(
⋅a)−a(
⋅u)]=4πϵ0q(
⋅u)3
[(c2−v2)u+
×(u×a)]
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