積分領域のノルム
📂抽象代数積分領域のノルム
定義
整域 Dにおいて、全てのα,β∈Dに対して以下の条件を満たす関数N:D→Zを乗法的ノルム乗法的ノルムと定義する。
- (i): N(α)=0⟺α=0
- (ii): N(αβ)=N(α)N(β)
定理
p∈Zが素数だとする。
- [1]: Dに乗法的ノルムNが定義された場合、N(1)=1であり、全てのユニットu∈Dに対して∣N(u)∣=1
- [2]: ∣N(α)∣=1を満たす全てのα∈DがDのユニットなら、∣N(π)∣=pを満たすπ∈DはDの既約元である。
説明
一般にノルムと言うと、通常N(α)≥0が前提され、α=0に対してν(α)=N(α)のような条件が加えられるが、同時にユークリッドノルムとなることが多い。一般的に断言はできないが、この程度の常識にも合わない代数構造を研究するモチベーションは珍しいだろう。ノルムが定義されている場合、ほぼ間違いなくN:D→N0と見て良い。
ノルムの定義は、整域 Dの算術構造を理解する上で大きな助けとなる。代数的整数論では、ドメインに適したさまざまなノルムを定義し、一見数論の領域にないように見える代数構造も、数論の領域に「引き込んで」研究できるようにする。数論に直接適用できることは言うまでもない。興味深い例としては、ガウス整数Z[i]i, ωやアイゼンシュタイン整数Z[ω](../1291)を考えることができる。
定理[2]によると、そのDの要素πについてよくわからなくても、N(π)が素数であることだけで、πがDの既約元であることが保証される。知られているように、素数pはZで既約元であり、Nは条件(ii)を通じて、DからZへの既約元の性質を保存したと見ることができる。
証明
[1]
戦略: 条件(ii)を通じてDの要素を引き裂くことで、自然に演繹される。
単位元1∈Dに対してN(1)を計算すると、乗法性により
N(1)=N(1⋅1)=N(1)N(1)
ゆえにN(1)である。また、u∈Dがユニットならば、定義によりその逆元u−1∈Dが存在するので、
1=N(1)=N(uu−1)=N(u)N(u−1)
もちろんN(u)は整数なので、∣N(u)∣=1でなければならない。
■
[2]
∣N(u)∣=1を満たす全てのu∈DはDのユニットであるとする。π∈Dが∣N(π)∣=1であり、かつπ=αβである場合、
p=∣N(π)∣=∣N(α)N(β)∣
pは素数なので、∣N(α)∣=1か∣N(β)∣=1でなければならない。仮定から、αまたはβのどちらかがDのユニットであり、結果としてπはDの既約元となる。
■