📂抽象代数

積分領域のノルム

定義 ¹

整域 $D$において、全ての$\alpha , \beta \in D$に対して以下の条件を満たす関数$N : D \to \mathbb{Z}$を乗法的ノルム^{乗法的ノルム}と定義する。

• (i): $N (\alpha) = 0 \iff \alpha = 0$
• (ii): $N ( \alpha \beta ) = N ( \alpha ) N ( \beta )$

定理

$p \in \mathbb{Z}$が素数だとする。

• [1]: $D$に乗法的ノルム$N$が定義された場合、$N(1) = 1$であり、全てのユニット$u \in D$に対して$| N ( u ) | = 1$
• [2]: $| N ( \alpha )| =1$を満たす全ての$\alpha \in D$が$D$のユニットなら、$| N ( \pi ) | = p$を満たす$\pi \in D$は$D$の既約元である。

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• ユニットは乗算の逆元を持つ要素である。

説明

一般にノルムと言うと、通常$N (\alpha) \ge 0$が前提され、$\alpha \ne 0$に対して$\nu ( \alpha) = N ( \alpha)$のような条件が加えられるが、同時にユークリッドノルムとなることが多い。一般的に断言はできないが、この程度の常識にも合わない代数構造を研究するモチベーションは珍しいだろう。ノルムが定義されている場合、ほぼ間違いなく$N : D \to \mathbb{N}_{0}$と見て良い。

ノルムの定義は、整域 $D$の算術構造を理解する上で大きな助けとなる。代数的整数論では、ドメインに適したさまざまなノルムを定義し、一見数論の領域にないように見える代数構造も、数論の領域に「引き込んで」研究できるようにする。数論に直接適用できることは言うまでもない。興味深い例としては、ガウス整数$\mathbb{Z} [i]$$i$, $\omega$やアイゼンシュタイン整数$\mathbb{Z} [\omega]$(../1291)を考えることができる。

定理[2]によると、その$D$の要素$\pi$についてよくわからなくても、$N ( \pi )$が素数であることだけで、$\pi$が$D$の既約元であることが保証される。知られているように、素数$p$は$\mathbb{Z}$で既約元であり、$N$は条件(ii)を通じて、$D$から$\mathbb{Z}$への既約元の性質を保存したと見ることができる。

証明

[1]

戦略: 条件(ii)を通じて$D$の要素を引き裂くことで、自然に演繹される。

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単位元$1 \in D$に対して$N(1)$を計算すると、乗法性により $$ N(1) = N \left( 1 \cdot 1 \right) = N (1) N (1) $$ ゆえに$N(1)$である。また、$u \in D$がユニットならば、定義によりその逆元$u^{-1} \in D$が存在するので、 $$ 1 = N ( 1) = N ( u u^{-1} ) = N (u ) N (u^{-1}) $$ もちろん$N (u)$は整数なので、$| N ( u) | =1$でなければならない。

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[2]

$| N(u) | = 1$を満たす全ての$u \in D$は$D$のユニットであるとする。$\pi \in D$が$| N ( \pi ) | = 1$であり、かつ$\pi = \alpha \beta$である場合、 $$ p = | N ( \pi ) | = | N ( \alpha ) N ( \beta ) | $$ $p$は素数なので、$| N ( \alpha ) | = 1$か$| N ( \beta ) | = 1$でなければならない。仮定から、$\alpha$または$\beta$のどちらかが$D$のユニットであり、結果として$\pi$は$D$の既約元となる。

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