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積分領域のノルム 📂抽象代数

積分領域のノルム

定義 1

整域 DDにおいて、全てのα,βD\alpha , \beta \in Dに対して以下の条件を満たす関数N:DZN : D \to \mathbb{Z}乗法的ノルム乗法的ノルムと定義する。

  • (i): N(α)=0    α=0N (\alpha) = 0 \iff \alpha = 0
  • (ii): N(αβ)=N(α)N(β)N ( \alpha \beta ) = N ( \alpha ) N ( \beta )

定理

pZp \in \mathbb{Z}素数だとする。

  • [1]: DDに乗法的ノルムNNが定義された場合、N(1)=1N(1) = 1であり、全てのユニットuDu \in Dに対してN(u)=1| N ( u ) | = 1
  • [2]: N(α)=1| N ( \alpha )| =1を満たす全てのαD\alpha \in DDDのユニットなら、N(π)=p| N ( \pi ) | = pを満たすπD\pi \in DDD既約元である。

説明

一般にノルムと言うと、通常N(α)0N (\alpha) \ge 0が前提され、α0\alpha \ne 0に対してν(α)=N(α)\nu ( \alpha) = N ( \alpha)のような条件が加えられるが、同時にユークリッドノルムとなることが多い。一般的に断言はできないが、この程度の常識にも合わない代数構造を研究するモチベーションは珍しいだろう。ノルムが定義されている場合、ほぼ間違いなくN:DN0N : D \to \mathbb{N}_{0}と見て良い。

ノルムの定義は、整域 DDの算術構造を理解する上で大きな助けとなる。代数的整数論では、ドメインに適したさまざまなノルムを定義し、一見数論の領域にないように見える代数構造も、数論の領域に「引き込んで」研究できるようにする。数論に直接適用できることは言うまでもない。興味深い例としては、ガウス整数Z[i]\mathbb{Z} [i]ii, ω\omegaやアイゼンシュタイン整数Z[ω]\mathbb{Z} [\omega](../1291)を考えることができる。

定理[2]によると、そのDDの要素π\piについてよくわからなくても、N(π)N ( \pi )が素数であることだけで、π\piDD既約元であることが保証される。知られているように、素数ppZ\mathbb{Z}既約元であり、NNは条件(ii)を通じて、DDからZ\mathbb{Z}への既約元の性質を保存したと見ることができる。

証明

[1]

戦略: 条件(ii)を通じてDDの要素を引き裂くことで、自然に演繹される。


単位元1D1 \in Dに対してN(1)N(1)を計算すると、乗法性により N(1)=N(11)=N(1)N(1) N(1) = N \left( 1 \cdot 1 \right) = N (1) N (1) ゆえにN(1)N(1)である。また、uDu \in Dがユニットならば、定義によりその逆元u1Du^{-1} \in Dが存在するので、 1=N(1)=N(uu1)=N(u)N(u1) 1 = N ( 1) = N ( u u^{-1} ) = N (u ) N (u^{-1}) もちろんN(u)N (u)は整数なので、N(u)=1| N ( u) | =1でなければならない。

[2]

N(u)=1| N(u) | = 1を満たす全てのuDu \in DDDのユニットであるとする。πD\pi \in DN(π)=1| N ( \pi ) | = 1であり、かつπ=αβ\pi = \alpha \betaである場合、 p=N(π)=N(α)N(β) p = | N ( \pi ) | = | N ( \alpha ) N ( \beta ) | ppは素数なので、N(α)=1| N ( \alpha ) | = 1N(β)=1| N ( \beta ) | = 1でなければならない。仮定から、α\alphaまたはβ\betaのどちらかがDDのユニットであり、結果としてπ\piDD既約元となる。


  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(第7版): p410。 ↩︎