ヤコビの公式
公式
$A = A(t)$を微分可能な行列関数とする。行列式$\det A(t)$の導関数は次の通りである。
$$ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \det A(t) = \Tr \Big( (\operatorname{adj}A(t)) \dfrac{\mathrm{d}A(t)}{\mathrm{d}t} \Big) = \det A(t) \cdot \Tr\left( A^{-1}(t) \dfrac{\mathrm{d}A(t)}{\mathrm{d}t} \right) $$
これをヤコビの公式Jacobi’s formulaという。全微分の形で書くと次のようになる。2番目の等号は$A$が可逆行列のとき成立する。
$$ \mathrm{d}(\det A) = \Tr \Big( (\operatorname{adj}A) \mathrm{d}A \Big) = \det A \cdot \Tr(A^{-1} \mathrm{d}A) $$
$\operatorname{adj}$は随伴行列、$\Tr$はトレース、$\mathrm{d}A$は行列微分素を意味する。
証明
簡単に$A = A(t)$と表記し、$A = [A_{ij}]$としよう。行列のラプラス展開は次の通りである。
$$ \det A = \sum\limits_{j} A_{ij} [\operatorname{adj}A]_{ji} \qquad \text{for fixed }i $$
行列式を$n^{2}$変数を持つ多変数関数$\det(A) = F(A_{11}, A_{12}, \dots, A_{nn})$と見なすと、その全微分は次のようになる。
$$ \mathrm{d} (\det A) = \sum_{i,j} \dfrac{\partial F}{\partial A_{ij}}\mathrm{d}A_{ij} $$
偏微分を計算すると次のようになる。
$$ \begin{align*} \dfrac{\partial F}{\partial A_{ij}} &= \dfrac{\partial }{\partial A_{ij}}\left( \sum\limits_{k} A_{ik} [\operatorname{adj}A]_{ki}\right) \\ &= \sum\limits_{k} \left( \dfrac{\partial A_{ik}}{\partial A_{ij}} [\operatorname{adj}A]_{ki} + A_{ik}\dfrac{\partial }{\partial A_{ij}}[\operatorname{adj}A]_{ki} \right) \\ &= \sum\limits_{k} \dfrac{\partial A_{ik}}{\partial A_{ij}} [\operatorname{adj}A]_{ki} + \sum\limits_{k}A_{ik}\dfrac{\partial }{\partial A_{ij}}[\operatorname{adj}A]_{ki} \\ &= [\operatorname{adj}A]_{ji} + \sum\limits_{k}A_{ik}\dfrac{\partial }{\partial A_{ij}}[\operatorname{adj}A]_{ki} \\ \end{align*} $$
ところで余因子の定義を考えると、全ての$k$について$[\operatorname{adj}A]_{ki}$は$A_{ij}$を含まないので、$A_{ij}$に関する偏微分は$0$である。
$$ \dfrac{\partial F}{\partial A_{ij}} = [\operatorname{adj}A]_{ji} \tag{1} $$
したがって次を得る。
$$ \begin{align*} \mathrm{d}(\det A) &= \sum\limits_{i,j} [\operatorname{adj}A]_{ji} \mathrm{d}A_{ij} \\ &= \sum\limits_{i} \sum\limits_{j} [\operatorname{adj}A]_{ji} \mathrm{d}A_{ij} \\ &= \sum\limits_{j} [(\operatorname{adj}A) \mathrm{d}A]_{jj} \\ &= \Tr \Big( (\operatorname{adj}A) \mathrm{d}A \Big) \end{align*} $$
3番目の等号は行列の積の表現によって、4番目の等号はトレースの定義によって成立する。$\mathrm{d}A$は行列微分素である。
一方で、$A$が可逆行列ならば$\operatorname{adj}A = (\det A) A^{-1}$であり、$\Tr(kA) = k\Tr(A)$ので次を得る。
$$ \mathrm{d}(\det A) = \Tr \Big( (\operatorname{adj}A) \mathrm{d}A \Big) = \Tr \Big( (\det A) A^{-1} \mathrm{d}A \Big) = \det A \Tr \Big( A^{-1} \mathrm{d}A \Big) $$
一方で、$\dfrac{\mathrm{d} (\det A)}{\mathrm{d}t}$は連鎖律により次のようになる。
$$ \dfrac{\mathrm{d} (\det A)}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d} (\det A)}{\mathrm{d}A} \cdot \dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} $$
$(1)$により$\dfrac{\mathrm{d} (\det A)}{\mathrm{d}A} = (\operatorname{adj}A)^{\mathsf{T}}$であり、$AB = \Tr(A ^{\mathsf{T}}B)$なので、
$$ \dfrac{\mathrm{d} (\det A)}{\mathrm{d}t} = (\operatorname{adj}A)^{\mathsf{T}} \dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = \Tr \left( (\operatorname{adj}A) \dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} \right) = \det A \cdot \Tr \left( A^{-1} \dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} \right) $$
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