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ヤコビの公式 📂多変数ベクトル解析

ヤコビの公式

公式

A=A(t)A = A(t)を微分可能な行列関数とする。行列式det⁡A(t)\det A(t)の導関数は次の通りである。

ddtdet⁡A(t)=Tr⁡((adj⁡A(t))dA(t)dt)=det⁡A(t)⋅Tr⁡(A−1(t)dA(t)dt) \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \det A(t) = \Tr \Big( (\operatorname{adj}A(t)) \dfrac{\mathrm{d}A(t)}{\mathrm{d}t} \Big) = \det A(t) \cdot \Tr\left( A^{-1}(t) \dfrac{\mathrm{d}A(t)}{\mathrm{d}t} \right)

これをヤコビの公式Jacobi’s formulaという。全微分の形で書くと次のようになる。2番目の等号はAAが可逆行列のとき成立する。

d(det⁡A)=Tr⁡((adj⁡A)dA)=det⁡A⋅Tr⁡(A−1dA) \mathrm{d}(\det A) = \Tr \Big( (\operatorname{adj}A) \mathrm{d}A \Big) = \det A \cdot \Tr(A^{-1} \mathrm{d}A)

adj⁡\operatorname{adj}は随伴行列、Tr⁡\Trはトレース、dA\mathrm{d}Aは行列微分素を意味する。

証明

簡単にA=A(t)A = A(t)と表記し、A=[Aij]A = [A_{ij}]としよう。行列のラプラス展開は次の通りである。

det⁡A=∑jAij[adj⁡A]jifor fixed i \det A = \sum\limits_{j} A_{ij} [\operatorname{adj}A]_{ji} \qquad \text{for fixed }i

行列式をn2n^{2}変数を持つ多変数関数det⁡(A)=F(A11,A12,…,Ann)\det(A) = F(A_{11}, A_{12}, \dots, A_{nn})と見なすと、その全微分は次のようになる。

d(det⁡A)=∑i,j∂F∂AijdAij \mathrm{d} (\det A) = \sum_{i,j} \dfrac{\partial F}{\partial A_{ij}}\mathrm{d}A_{ij}

偏微分を計算すると次のようになる。

∂F∂Aij=∂∂Aij(∑kAik[adj⁡A]ki)=∑k(∂Aik∂Aij[adj⁡A]ki+Aik∂∂Aij[adj⁡A]ki)=∑k∂Aik∂Aij[adj⁡A]ki+∑kAik∂∂Aij[adj⁡A]ki=[adj⁡A]ji+∑kAik∂∂Aij[adj⁡A]ki \begin{align*} \dfrac{\partial F}{\partial A_{ij}} &= \dfrac{\partial }{\partial A_{ij}}\left( \sum\limits_{k} A_{ik} [\operatorname{adj}A]_{ki}\right) \\ &= \sum\limits_{k} \left( \dfrac{\partial A_{ik}}{\partial A_{ij}} [\operatorname{adj}A]_{ki} + A_{ik}\dfrac{\partial }{\partial A_{ij}}[\operatorname{adj}A]_{ki} \right) \\ &= \sum\limits_{k} \dfrac{\partial A_{ik}}{\partial A_{ij}} [\operatorname{adj}A]_{ki} + \sum\limits_{k}A_{ik}\dfrac{\partial }{\partial A_{ij}}[\operatorname{adj}A]_{ki} \\ &= [\operatorname{adj}A]_{ji} + \sum\limits_{k}A_{ik}\dfrac{\partial }{\partial A_{ij}}[\operatorname{adj}A]_{ki} \\ \end{align*}

ところで余因子の定義を考えると、全てのkkについて[adj⁡A]ki[\operatorname{adj}A]_{ki}はAijA_{ij}を含まないので、AijA_{ij}に関する偏微分は00である。

∂F∂Aij=[adj⁡A]ji(1) \dfrac{\partial F}{\partial A_{ij}} = [\operatorname{adj}A]_{ji} \tag{1}

したがって次を得る。

d(det⁡A)=∑i,j[adj⁡A]jidAij=∑i∑j[adj⁡A]jidAij=∑j[(adj⁡A)dA]jj=Tr⁡((adj⁡A)dA) \begin{align*} \mathrm{d}(\det A) &= \sum\limits_{i,j} [\operatorname{adj}A]_{ji} \mathrm{d}A_{ij} \\ &= \sum\limits_{i} \sum\limits_{j} [\operatorname{adj}A]_{ji} \mathrm{d}A_{ij} \\ &= \sum\limits_{j} [(\operatorname{adj}A) \mathrm{d}A]_{jj} \\ &= \Tr \Big( (\operatorname{adj}A) \mathrm{d}A \Big) \end{align*}

3番目の等号は行列の積の表現によって、4番目の等号はトレースの定義によって成立する。dA\mathrm{d}Aは行列微分素である。

一方で、AAが可逆行列ならばadj⁡A=(det⁡A)A−1\operatorname{adj}A = (\det A) A^{-1}であり、Tr⁡(kA)=kTr⁡(A)\Tr(kA) = k\Tr(A)ので次を得る。

d(det⁡A)=Tr⁡((adj⁡A)dA)=Tr⁡((det⁡A)A−1dA)=det⁡ATr⁡(A−1dA) \mathrm{d}(\det A) = \Tr \Big( (\operatorname{adj}A) \mathrm{d}A \Big) = \Tr \Big( (\det A) A^{-1} \mathrm{d}A \Big) = \det A \Tr \Big( A^{-1} \mathrm{d}A \Big)

一方で、d(det⁡A)dt\dfrac{\mathrm{d} (\det A)}{\mathrm{d}t}は連鎖律により次のようになる。

d(det⁡A)dt=d(det⁡A)dA⋅dAdt \dfrac{\mathrm{d} (\det A)}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d} (\det A)}{\mathrm{d}A} \cdot \dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}

(1)(1)によりd(det⁡A)dA=(adj⁡A)T\dfrac{\mathrm{d} (\det A)}{\mathrm{d}A} = (\operatorname{adj}A)^{\mathsf{T}}であり、AB=Tr⁡(ATB)AB = \Tr(A ^{\mathsf{T}}B)なので、

d(det⁡A)dt=(adj⁡A)TdAdt=Tr⁡((adj⁡A)dAdt)=det⁡A⋅Tr⁡(A−1dAdt) \dfrac{\mathrm{d} (\det A)}{\mathrm{d}t} = (\operatorname{adj}A)^{\mathsf{T}} \dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = \Tr \left( (\operatorname{adj}A) \dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} \right) = \det A \cdot \Tr \left( A^{-1} \dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} \right)

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