📂集合論

ネット、ムーア-スミス列

定義¹

集合 $X$と有向集合 $A$に対して、$A$から$X$への関数 $f : A \to X$をネット^netと呼ぶ。

表記法

それぞれの $a \in A$に対して、$x_{a} = f(a) \in X$と表記すれば、ネット $f$は $(x_{a})_{a \in A}$または $x_{\centerdot}$で表記する²。すなわち、

$$x_{\centerdot} : A \to X \\ x_{\centerdot}(a) = x_{a} = f(a)$$

説明

ネットはムーア-スミス列^{Moore-Smith sequence}とも呼ばれる。

ネットは数列の一般化された概念である。数列は定義域が自然数である集合 $f : \mathbb{N} \to X$をいうが、これを自然数ではない全順序集合として考えてみよう。そうすると、定義域が全順序集合である関数を数列、定義域が有向集合である関数をネットと呼ぶことができる。