📂数値解析

チェビシェフ・ノード

定義

$[-1,1]$から$\displaystyle x_{k} = \cos \left( {{2k-1} \over {2n}} \pi \right)$、$k=1, \cdots , n$をチェビシェフ・ノードという。

説明

チェビシェフ・ノードは、通常使われる等間隔のノードポイントとは異なり、半円の弧を等しい大きさに切り分け、その点を$x$軸に投影して得られるノードポイントを言う。点の分布は、中央よりも両端に少し集まる形をしている。下で説明するが、この点こそがチェビシェフ・ノードの利点である。

チェビシェフ・ノードという名前がついた理由は、これらの点がチェビシェフ多項式のゼロだからである。

チェビシェフ多項式: $T_{n} (x) = \cos \left( n \cos^{-1} x \right)$を第1種チェビシェフ多項式という。

• [1]: $\displaystyle T_{n} (x)$の根は$\displaystyle x_{k} = \cos \left( {{2k-1} \over {2n}} \pi \right)$、$k=1, \cdots , n$

チェビシェフ多項式と同様に、チェビシェフ・ノードも豊かな数学的特性を備えており、特に数値解析で直ちに応用が可能である。補間であれ、微分方程式を解くメソッドであれ、ノードとしては等間隔よりも悪いと思うかもしれないが、むしろ両端点に関する情報が多いため良い結果が得られる。等間隔のノードは数式的操作は簡単かもしれないが、比較的重要ではない情報を多く取りすぎると見ることができる。

簡単な例として、言及された補間の例を見てみよう。

ポリノミアル補間:

• [4] 実際の関数との誤差：$(n+1)$階微分可能な$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$とある$\xi \in \mathscr{H} \left\{ x_{0} , \cdots , x_{n} \right\}$に対し、$f$のポリノミアル補間$p_{n}$は、ある$t \in \mathbb{R}$に対して$\displaystyle f(t) - p_{n} (t) = {{ (t - x_{0}) \cdots (t - x_{n}) } \over { (n+1)! }} f^{(n+1)} ( \xi )$を満たす。

$$f(x) - p_{n} (x) = {{ (x - x_{0}) \cdots (x - x_{n}) } \over { (n+1)! }} f^{(n+1)} ( \xi )$$ 上の誤差では、$f^{(n+1)}$と$(n+1)!$はもはや手の施しようがない。これからの誤差は完全に$x , x_{0} , \cdots , x_{n}$に依存するが、$x$は変数だから一旦横に置いておこう。この$x_{0} , \cdots , x_{n}$をどう与えるかによって誤差を減らすことが可能なら、盲目的に等間隔のノードからデータを集めるのではなく、最初から良いノードから集めた方がいいだろう。これから$x_{0} , \cdots , x_{n}$をチェビシェフ・ノードと呼んでみよう。 $$T_{0} (x) = 1$$

$$T_{1} (x) = x$$

$$T_{n+1} (x) = 2x T_{n} (x) - T_{n-1} (x)$$ したがって、$T_{n+1} (x)$の最高次の項の係数は$2^{n}$であり、チェビシェフ・ノードをゼロとして持つので $$T_{n+1} (x) = 2^{n} ( x - x_{0} ) \cdots ( x - x_{n} )$$ 一方、$| T_{n+1} (x) | \le 1$のため、$2^{n}$を左辺に移して絶対値を取ると、次のように驚くべき結果が得られる。 $$\begin{align*} & | ( x - x_{0} ) \cdots ( x - x_{n} ) | \le {{1} \over { 2^{n} }} \\ \implies& | f(x) - p_{n} (x) | \le {{ \left| f^{(n+1)} ( \xi ) \right| } \over { 2^{n} (n+1)! }} \end{align*}$$ もちろん、$\displaystyle {{1} \over {2^{n}}}$にバウンドできるだけでもすごいが、実際にはそれだけではなく、これ以上誤巴を減らすことができないという事実が知られている。つまり、チェビシェフ・ノードは、誤差を大幅に減らすだけのノ－ドではなく、最適なノードであることが保証されているのである。