フーリエ変換を用いた微分方程式の解法
説明
フーリエ級数とフーリエ変換は、熱方程式を解くために出てきた概念である。もちろん、条件を満たしていれば、他の微分方程式を解く時にも使用できる。特にフーリエ級数は、量子物理学で粒子のエネルギーをシュレディンガー方程式を通して計算する時に使用される。多くの物理学科の学生は、それがフーリエ級数だとは知らずに使用しているが、教えてあげると何かは分かる。与えられた微分方程式の条件によって、フーリエ変換とフーリエ級数のどちらを使用すべきかが決まる。問題で与えられた範囲が有限の時はフーリエ級数を、無限の時はフーリエ変換を使用する。
解法
次のような熱方程式が与えられているとしよう。
$$ u_{t}=k u_{xx} (-\infty < x< \infty) $$
$$
u(x,0)=f(x) ( -\infty < x< \infty)
$$
正の時間$t$に対して境界条件はないとする。$u$と$f$が急激に減少して、$x \rightarrow \pm \infty$の時に$0$に収束すると、つまり$L^1$関数だと仮定しよう。すると、フーリエ変換が存在する。$x$に対するフーリエ変換を与えられた微分方程式に適用すると
$$ \mathcal{F} [u_{t}] (\xi,\ t) = k \mathcal{F}[u_{xx}] (\xi,\ t) $$
フーリエ変換の性質$\hat{[f^{\prime}]}=i\xi \hat{f}$を右辺に適用すると
$$ \mathcal{F} [u_{t}] (\xi,\ t) = -k\xi^{2} \hat{u}(\xi,\ t) $$
この時、左辺を展開して書くと$\int u_{t}e^{-i\xi x}dx$で、条件が良いために積分と微分の順序を変えられると仮定しよう。通常の場合は、自由に微分と積分の順序を変えることはできないが、このタイプの問題を解く時にはほとんど常に成り立つので、あまり心配しなくても大丈夫だ。すると、$u$の微分のフーリエ変換が$u$のフーリエ変換の微分と同じになる。従って、与えられた微分方程式は下記のような簡単な常微分方程式になる。
$$ \dfrac{\partial \hat{u}}{\partial t}(\xi,\ t) = -k\xi^{2} \hat{u}(\xi,\ t) $$
固定された$\xi$に対して上記の微分方程式を解くと
$$ \hat{u}(\xi,\ t) = \hat{f} (\xi) e^{-k\xi^{2}t} $$
両辺にフーリエ逆変換を取ると
$$ \begin{equation} u(x,\ t) =\dfrac{1}{2\pi}\int \hat{f}(\xi) e^{-k\xi^{2} t}e^{i\xi x} d\xi \label{eq1} \end{equation} $$
これを$u$に対するフーリエ積分公式と呼ぶ。この式をフーリエ変換と畳み込みの性質を利用して簡単に表すことができる。フーリエ変換の性質$(d)$$\mathcal{F} [f \ast g]=\hat{f}\hat{g}$の両辺に逆変換を取ると
$$ f \ast g=\mathcal{F}^{-1}[\hat{f} \hat{g}] $$
$\eqref{eq1}$の$e^{-k\xi ^{2}t}$をある関数のフーリエ変換だとする。具体的には$\mathcal{F}[K_{t}] (\xi)=e^{-k\xi^{2} t}$としよう。すると、式$\eqref{eq1}$は
$$ \begin{align*} u(x,\ t) &= \dfrac{1}{2\pi} \int \hat{f}(\xi) \hat{K_{t}}(\xi) e^{i\xi x} d\xi \\ &= \mathcal{F}^{-1}[\hat{f}\hat{K_{t}}] (x) \\ &= f \ast K_{t}(x) \end{align*} $$
いま、$K_{t}$を求める番だ。最初に定義した式の両辺に逆変換を取ると
$$ \begin{align*} K_{t}(x)= \mathcal{F}^{-1} \mathcal{F}[K_{t}] (x) &= \mathcal{F}^{-1} \left[ e^{-k\xi ^{2} t} \right] \\ &= \dfrac{1}{2\pi} \int e^{-k\xi^{2} t}e^{i\xi x} d\xi \\ &= \dfrac{1}{2\pi} \int e^{-k\xi^{2} t}e^{-i\xi (-x)}d\xi \\ &= \dfrac{1}{2\pi} \mathcal{F} \left[e^{-k\xi^{2}t} \right] (-x) \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{4\pi kt}}e^{-x^{2}/4kt}dx \end{align*} $$
最後の数式は、ガウス関数のフーリエ変換公式で簡単に得られる。従って、これを$u$に代入すると
$$ \begin{align*} u(x,\ t) &= f \ast K_{t}(x) \\ &= \int f(y) K_{t}(x-y) dy \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{4 \pi kt}} \int f(y) e^{-(x-y)^{2}/4kt}dy \end{align*} $$
初めに与えられた微分方程式の条件に$u(x,\ 0)=f(x)$があったので、$\lim \limits_{ t\rightarrow 0} u(x,\ t)=\lim \limits_{ t\rightarrow 0} f \ast K_{t}(x)=f(x)$であれば、上記の問題に適切な解と言える。もちろん、実際に成り立ち、証明することができる。
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