フーリエ逆変換定理
ビルドアップ
フーリエ変換を導出する過程で、逆変換の定義も同時に導出された。しかし、これは理解を助けるために簡単に説明したもので、変換式を正確に導出したわけではない。まずフーリエ逆変換は以下のようである。
$$ \begin{equation} f(x) =\dfrac{1}{2\pi} \int \hat{f}(\xi) e^{i\xi x}d\xi \end{equation} $$
この式には、$f$から$\hat{f}$を得て、$\hat{f}$から再び$f$を得ることができるという意味がある。これが何を意味するのか、当たり前のことではないかと思われるかもしれないが、全く当たり前ではない。例えば、微分と積分を考えてみよう。ある多項式を微分したとき、定数項という情報を失い、これは積分によって再び得ることができない。しかし、フーリエ変換は情報をそのまま保持する。$f$からフーリエ変換$\hat{f}$を得て、この$\hat{f}$に逆変換を施せば、$f$をそのまま得ることができる。
$$ \begin{equation} \hat{f} (\xi) := \int f(x) e^{-i\xi x}dx \end{equation} $$
上記のようにフーリエ変換を定義した場合、$(1)$がその逆変換になることは次のように示せる。
フーリエ逆変換の定理
$f$のフーリエ変換を$\hat{f}$として$(2)$のように定義する。$f$が積分可能で部分的に連続であると仮定する。$f$は不連続な点では以下のように定義される。
$$ f(x)=\dfrac{1}{2} \big[ f(x-)+f(x+)\big] $$
すると、以下の式が成立する。
$$ f(x)=\lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0}\dfrac{1}{2\pi}\int\hat{f}(\xi)e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi $$
さらに、$\hat{f} \in$を$L^1$と仮定すると、$f$は連続であり、
$$ f(x) =\dfrac{1}{2\pi}\int\hat{f}(\xi) e^{i\xi x}d\xi = \mathcal{F}^{-1}[\hat{f}] (x) $$
結論
$\hat{f}=\hat{g}$と仮定すると、$f=g$である。
証明
$$ f=\mathcal{F}^{-1}[\hat{f}]=\mathcal{F}^{-1}[\hat{g}] $$
したがって、
$$ f=\mathcal{F}^{-1}[\hat{g}]=\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}[g]=g $$
■
説明
この結論を見ると、「何？ 当たり前じゃないか？」と思うかもしれないが、全く当たり前ではない。微分という操作を考えてみよう。$f(x)=x^2+1$、$g(x)=x^2+4$とする。この場合、$f^{\prime}(x)=2x=g^{\prime}(x)$という事実が$f(x)=g(x)$を保証しない。
証明
戦略:
問題を簡単に解決するために、カットオフ関数を使用する。カットオフ関数とは、乗算して極限を取ったときに、文字通りある範囲外をカットオフするような効果が発生するものを指す。原点の近くでは元の値を保持し、原点から離れるにつれて$0$に収束させるために使用される。モリファイアと似た概念である。この部分の説明が理解しにくい場合は、スキップしても構わない。いずれにせよ、このようなカットオフ関数を逆変換する式に乗算する。
$$ \eta (\xi)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}, \quad \eta_\epsilon (\xi)=\dfrac{1}{\epsilon}\eta \left( \frac{\xi}{\epsilon} \right)=\dfrac{1}{\epsilon\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2\epsilon^2}} $$
このカットオフ関数を乗算すると、
$$ \dfrac{1}{2\pi}\int\hat{f} (\xi) e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi $$
この式はフーリエ変換の定義により以下のようになる。
$$ \dfrac{1}{2\pi}\int \int f(y) e^{-i\xi y}dy e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi $$
フーリエ変換の定義や畳み込みなどを使用して式を変換すると、
$$ \begin{align*} \dfrac{1}{2\pi}\int \int f(y) e^{-i\xi y}dy e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi &= \dfrac{1}{2\pi}\int {\color{blue}\int} f(y) {\color{blue}e^{-i\xi (y-x)}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}}dy {\color{blue}d\xi} \\ &= \dfrac{1}{2\pi}\int {\color{blue}\mathcal{F} \left[ e^{-\epsilon^2 \xi^2 /2}\right] (y-x)} f(y) dy \\ &= \dfrac{1}{2\pi}\int {\color{blue}\sqrt{\dfrac{2\pi}{\epsilon^2}}e^{-\frac{(y-x)^2}{2\epsilon^2}}} f(y) dy \\ &= \int \dfrac{1}{\epsilon \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-y)^2}{2\epsilon^2}} f(y) dy \\ &= \int \eta_\epsilon (x-y)f(y) dy \\ &= f \ast \eta_\epsilon (x) \end{align*} $$
3つ目の等号では以下の公式を使用した。
ガウス関数$f(x)=e^{-Ax^2}$のフーリエ変換は以下のようである。
$$ \mathcal{F}[f] (\xi) = \mathcal{F} \left[ e^{-Ax^2} \right] (\xi)=\sqrt{\frac{\pi}{A}}e^{-\frac{\xi ^2}{4A}} $$
すると、$f$が部分的に連続であるという仮定により、$f$のモリフィケーションは以下のように収束する。
$$ \begin{align*} \lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0} \dfrac{1}{2\pi}\int\hat{f} (\xi) e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi &= \lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0} f \ast \eta_\epsilon (x) \\ &= \dfrac{1}{2} \big[ f(x-)+f(x+)\big] \\ &= f(x) \end{align*} $$
また、$\hat{f} \in L^1$と仮定すると、
$$ \left| e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2|\xi|^2 /2} \hat{f}(\xi) \right| \le \left| \hat{f}(\xi) \right| $$
したがって、支配収束定理により、
$$ \begin{align*} f(x) &= \lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0} \dfrac{1}{2\pi}\int\hat{f} (\xi) e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi \\ &= \dfrac{1}{2\pi}\int \lim \limits_{\epsilon \rightarrow 0} \hat{f} (\xi) e^{i\xi x}e^{-\epsilon^2\xi^2/2}d\xi \\ &= \dfrac{1}{2\pi}\int \hat{f} (\xi) e^{i\xi x}d\xi \end{align*} $$
したがって、
$$ f(x)=\dfrac{1}{2\pi}\int \hat{f} (\xi) e^{i\xi x}d\xi $$
■