📂偏微分方程式

非線形1階偏微分方程式の特性方程式

• xとpに関して、偏微分方程式の変数を強調する時は普通のフォントで$x,p \in \mathbb{R}^{n}$と表記し、$s$の関数であることを強調する時は太字で$\mathbf{x}, \mathbf{p} \in \mathbb{R}^{n}$と表記する。

特性メソッド¹

開集合 $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$が与えられたとしよう。$u\in C^{2}(\Omega)$が以下の非線形1階偏微分方程式の解だとする。

$$F(Du,\ u,\ x)=0$$

そして$\mathbf{x}, z, \mathbf{p}$を以下のように置こう。

$$\begin{align*} \mathbf{x}(s) &=(x^{1}(s), \dots, x^{n}(s)) \in C^1(I;\Omega)\quad (s\in I \subset \mathbb{R}) \\ z(s) &= u(\mathbf{x}(s)) \\ \mathbf{p}(s) &= Du(\mathbf{x}(s)) \end{align*}$$

ここで$\mathbf{x}$が以下の式を満たすと仮定しよう。

$$\dot{\mathbf{x}}(s) = D_{p}F\big(\mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s) \big)$$

すると$\mathbf{p}(s)$と$z(s)$はそれぞれ以下の常微分方程式の解となる。

$$\begin{cases} \dot{\mathbf{p}} (s) = -D_{x}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big)-D_{z}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big)\mathbf{p}(s) \\ \dot{z}(s) = D_{p}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big) \cdot \mathbf{p}(s) \\ \dot{\mathbf{x}}(s) = D_{p}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big) \end{cases}$$

説明

特性メソッドは非線形1階偏微分方程式を解く方法の一つで、一つの偏微分方程式を連立常微分方程式に表して解くことである。

導出

以下のような非線形1階偏微分方程式が与えられたとする。

$$\begin{equation} F(Du, u, x) = 0 \label{eq1} \end{equation}$$

このとき、$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$は開集合であり、$F\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \times \Omega)$と仮定する。そして、以下のような境界条件が与えられたとする。

$$\begin{equation} u=g \quad \text{ on } \Gamma \label{eq2} \end{equation}$$

特性メソッドのアイデアは、与えられた境界条件を利用して固定された$x\in\Omega$と$x^0 \in \Gamma$を結ぶ$\Omega$内の線を見つけることである。言い換えれば、$u \in C^{2}$が$\eqref{eq1}, \eqref{eq2}$を満たす解であるとき、次の図のような線に沿って$u$の値を得ることが目標である。

図の線が以下の関数で表されるとしよう。

$$\mathbf{x}(s)=\big( x^1(s),\ \cdots,\ x^n(s) \big), \quad s\in I\subset \mathbb{R}$$

$\mathbf{x}(0)=x^{0}$として、$\mathbf{x}$が$s$が増加するにつれて$\Omega$内の線に沿って動くと考えよう。$s$による$u$の値を$z$という関数で表現しよう。

$$\begin{equation} z(s):= u(\mathbf{x}(s)) \label{eq3} \end{equation}$$

同様に、$s$による$Du$の値を$\mathbf{p}$としよう。

$$\mathbf{p}(s) := Du(\mathbf{x}(s))$$

すると$\mathbf{p}(s)=(p^{1}(s), \dots, p^{n}(s))$のとき、各成分は以下のようになる。

$$\begin{equation} p^i(s)=u_{x_{i}}( \mathbf{x}(s)) \label{eq4} \end{equation}$$

$s$に対する微分を簡単に$\dfrac{d f}{ds} = \dot{f}$と表記しよう。$dp^i(s)=u_{x_{i}x_{1}}dx^1+\cdots u_{x_{i}x_{n}}dx^n$なので$\dot{p}^i(s)$は以下のようになる。

$$\begin{equation} \dot{p}^i(s)=\sum \limits_{j=1}^n u_{x_{i}x_{j}}( \mathbf{x}(s))\dot{x}^j(s) \label{eq5} \end{equation}$$

このとき$dF=F_{p_{1}}dp_{1}+\cdots F_{p_{n}}dp_{n}+F_{z}dz+F_{x_{1}}dx_{} + \cdots + F_{x_{n}}dx_{n}$なので$\eqref{eq1}$を$x_{i}$に対して微分すると以下のようになる。

$$\sum \limits_{j=1}^n F_{p_{j}}\big( \mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s) \big)p^j_{x_{i}}(s)+F_{z} \big( \mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s) \big)z_{x_{i}}(s)+F_{x_{i}} \big( \mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s) \big) = 0$$

このとき$\eqref{eq3}, \eqref{eq4}$によって$z_{x_{i}}=u_{x_{i}}=p^{i}$であり、$\eqref{eq4}$によって$p^{j}_{x_{i}}=u_{x_{j}x_{i}}$なので、これを上記の式に代入すると以下を得る。

$$\begin{equation} \sum \limits_{j=1}^{n} F_{p_{j}}\big( \mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s) \big)u_{x_{j}x_{i}}(\mathbf{x}(s))+F_{z}\big( \mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s) \big) p^{i}(s)+F_{x_{i}}\big( \mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s) \big) = 0 \label{eq6} \end{equation}$$

しかし、上記の式を見ると$\eqref{eq5}$のために$u_{x_{i}x_{j}}$という2階微分項が生じたことが分かる。1階偏微分方程式を解くために2階微分を解くのは適切でないため、この項を取り除く必要がある。このために、$\dot{\mathbf{x}}$の各成分が以下を満たすと仮定しよう。

$$\begin{equation} \dot{x}^{j}(s)=F_{p_{j}}(\mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s)), \quad \forall\ s\in I \subset \mathbb{R} \label{eq7} \end{equation}$$

$\eqref{eq6}$に$\eqref{eq7}$を代入して$\eqref{eq5}$を利用すると以下のような式を導き出せる。

$$\begin{equation} \dot{p}^{i} (s) = -F_{z} \big( \mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s) \big)p^i(s)-F_{x_{i}} \big( \mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s) \big), \quad \forall\ s\in I(i=1,\dots,n) \label{eq8} \end{equation}$$

また、$\eqref{eq3}$を$s$に対して微分すると以下のようになる。

$$\dot{z}(s)=\sum \limits_{j=1}^n u_{x_{j}}(\mathbf{x}(s))\dot{x}^j(s)$$

ここに$\eqref{eq4} p^{i}=u_{x_{i}}$と$\eqref{eq7} \dot{x}^{j} = F_{p_{j}}$を代入すると以下を得る。

$$\begin{equation} \dot{z}(s)=\sum \limits_{j=1}^n p^j(s)F_{p_{j}}\big( \mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big), \quad s\in I \subset \mathbb{R}, \label{eq9} \end{equation}$$

このような過程で得られた$\eqref{eq7}, \eqref{eq8}, \eqref{eq9}$を以下のように整理して$2n+1$の連立方程式として表現したものが特性方程式である。また、各未知数$\mathbf{p}(s), z(s), \mathbf{x}(s)$を$\eqref{eq1}$の特性という。

$$\begin{cases} \dot{\mathbf{p}} (s) = -D_{x}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big)-D_{z}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big)\mathbf{p}(s) \\ \dot{z}(s) = D_{p}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big) \cdot \mathbf{p}(s) \\ \dot{\mathbf{x}}(s) = D_{p}F\big(\mathbf{p}(s),\ z(s),\ \mathbf{x}(s) \big) \end{cases}$$

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