📂電磁気学

電磁場の角運動量

概要¹

電磁場に蓄えられた角運動量は以下の通りだ。

$$ \mathbf{\ell} = \mathbf{r} \times \mathbf{g}=\epsilon_{0}\big( \mathbf{r} \times (\mathbf{E} \times \mathbf{B} )\big) $$

$\mathbf{g}$は電磁場に蓄えられた運動量密度だ。

説明

電磁場は単に電荷間に作用する電磁力の媒介者であるだけでなく、自らエネルギーも持っている。

$$ u =\dfrac{1}{2} \left( \epsilon_{0} E^2 + \dfrac{1}{\mu_{0}} B^2 \right) $$

そして運動量も持っていて、物質の運動量と電磁場の運動量の合計が保存される運動量保存の法則を満たしている。

$$ \mathbf{g} = \epsilon_{0} (\mathbf{E} \times \mathbf{B} ) $$

$$ \dfrac{d \mathbf{p}}{dt} =-\epsilon_{0}\mu_{0}\dfrac{d}{dt}\int_{\mathcal{V}} \mathbf{S} d\tau + \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{T} \cdot d\mathbf{a} $$

そして驚くべきことに、電磁場は角運動量も持っている。

$$ \mathbf{\ell} = \mathbf{r} \times \mathbf{g}=\epsilon_{0}\big( \mathbf{r} \times (\mathbf{E} \times \mathbf{B} )\big) $$

静的な電磁場であっても$\mathbf{E} \times \mathbf{B} \ne 0$であれば角運動量を持っている。角運動量保存法則は物質の角運動量と電磁場の角運動量の合計である総角運動量に関して成立する。