📂電磁気学

ポインティングの定理とポインティングベクトル

整理¹

電磁力が電荷にした仕事は、電磁場に蓄えられたエネルギーの減少量と境界面を通じて外に漏れ出たエネルギーを足したものと同じである。これをポインティングの定理^{Poynting’s theorem}という。

$$ \begin{align*} \dfrac{dW}{dt} &= -\dfrac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} \dfrac{1}{2} \left( \epsilon_{0} E^2 + \dfrac{1}{\mu_{0}} B^2 \right) d\tau - \dfrac{1}{\mu_{0}} \oint_{\mathcal{S}} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \cdot d \mathbf{a} \\ &= -\dfrac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} u d\tau - \oint_{\mathcal{S}}\mathbf{S} \cdot d\mathbf{a} \end{align*} $$

$\mathcal{S}$は$\mathcal{V}$の境界である。$u$は単位体積空間の電磁場に蓄えられた総エネルギーである。右側の第二項の被積分関数$\mathbf{S}$は、電磁場が運ぶ単位時間あたりの単位面積を通過するエネルギーであり、ポインティングベクトル^{Poynting vector}と言われる。

$$ \mathbf{S} =\dfrac{1}{\mu_{0}} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) $$

エネルギー流束密度^{energy flux density}とも言う。

説明

ポインティングの定理から、連続の方程式に関してエネルギーを得る。

$$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = -\nabla \cdot \mathbf{S} $$

電磁場に蓄えられたエネルギーが保存されることを述べている式である。

ポインティングをpointingと間違えやすいが、Poyntingは人の名前である。指すなどの英単語pointとは全く関係がないので、間違えないようにしよう。

ポインティングの定理は、単位時間あたりに電磁力が電荷にした仕事をどのように計算するかについての定理である。特に、ポインティングベクトルは、電磁学の後半部分で運動量とエネルギーについて扱うときに、常に出現する重要な概念である。

証明

電荷分布を作るために必要な仕事(クーロン力に逆らって行う作業)と電流が流れるために必要な仕事(起電力に逆らって行う作業)はそれぞれ次のようである。

$$ W_{E} =\dfrac{\epsilon_{0}}{2}\int E^2 d\tau , \quad \quad W_{B} =\dfrac{1}{2\mu_{0}}\int B^2 d\tau $$

$\mathbf{E}$と$\mathbf{B}$はそれぞれ電荷分布、電流分布が作る電磁場である。したがって、単位体積の空間に電磁場によって蓄えられた総エネルギーは次のようである。

$$ u =\dfrac{1}{2}\left( \epsilon_{0} E^2 +\dfrac{1}{\mu_{0}} B^2\right) $$

• Part 1. ポインティングの定理

ある電荷分布と電流分布から時刻$t$に電場$\mathbf{E}$と磁場$\mathbf{B}$が生じたとする。時間$dt$後に電荷が移動した場合、その時間$dt$の間に電磁力がこの電荷にした仕事$dW$は、仕事の定義とローレンツ力の法則を通じて次のように表すことができる。

$$ \begin{align*} dW &= \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s} \\ &= q(\mathbf{E} +\mathbf{v}\times \mathbf{B}) \cdot \mathbf{v} dt \\ &= q\mathbf{E} \cdot \mathbf{v} dt \end{align*} $$

最後の等号が成立する理由は、$\mathbf{v}\times \mathbf{B}$が$\mathbf{v}$と垂直であるため、または磁力は仕事をしないと説明できる。電荷量は$q=\int \rho d\tau$であり、$\rho\mathbf{v}=\mathbf{J}$であるため

$$ \begin{align} dW &= \int_{\mathcal{V}} \mathbf{E}\cdot \rho\mathbf{v} d\tau dt \nonumber \\ &= \int_{\mathcal{V}} \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} d\tau dt \nonumber \\ \implies \dfrac{dW}{dt} &= \int_{\mathcal{V}} \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} d\tau \end{align} $$

したがって、$\mathbf{E} \cdot \mathbf{J}$は単位時間当たり単位体積にされた仕事と言える。別の言い方をすると、単位体積当たりの仕事率である。マクスウェル方程式 $\text{(iv)}$により$\mathbf{J}=\frac{1}{\mu_{0}}\nabla \times \mathbf{B} - \epsilon_{0} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$が成り立つので

$$ \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} = \dfrac{1}{\mu_{0}}\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) - \epsilon_{0} \mathbf{E}\cdot \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $$

乗法規則 (d)$\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) - \nabla \cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{B})$とファラデーの法則$\nabla \times \mathbf{E}= -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$を使用して、第一項をさらに簡単に表現できる。

$$ \mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = -\mathbf{B} \cdot \dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} -\nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) $$

したがって、元の式は

$$ \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} = -\left( \epsilon_{0} \mathbf{E} \cdot \dfrac{\partial \mathbf{E} } {\partial t} + \dfrac{1}{\mu_{0}}\mathbf{B}\cdot\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) -\nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) $$

右側の第一項を簡単にするために、以下の関係式を使うことができる

$$ \dfrac{\partial}{\partial t} A^2=\dfrac{\partial}{\partial t}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{A})=2\mathbf{A} \cdot \dfrac{\partial \mathbf{A} }{\partial t} \\ \implies \mathbf{A}\cdot \dfrac{ \partial \mathbf{A}}{\partial t} = \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial}{\partial t} A^2 $$

これを元の式に適用すると

$$ \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} = -\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial }{\partial t} \left( \epsilon_{0} E^2 + \dfrac{1}{\mu_{0}}B^2 \right) -\dfrac{1}{\mu_{0}}\nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) $$

最後に、これを$(1)$に代入すると

$$ \begin{align*} \dfrac{dW}{dt} &= -\dfrac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} \dfrac{1}{2}\left( \epsilon_{0} E^2 + \dfrac{1}{\mu_{0}}B^2 \right)d\tau -\dfrac{1}{\mu_{0}} \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) d\tau \\ &= -\dfrac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} \dfrac{1}{2}\left( \epsilon_{0} E^2 + \dfrac{1}{\mu_{0}}B^2 \right)d\tau -\dfrac{1}{\mu_{0}} \oint_{\mathcal{S}} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{a} \end{align*} $$

二つ目の等号は発散定理によって成立する。右側の第一項は、文書の上部で見たように、電磁場内に蓄えられた総エネルギー$u$である。ポインティングベクトルを$\mathbf{S} \equiv \frac{1}{\mu_{0}}( \mathbf{E} \times \mathbf{B})$と定義する。$u$と$\mathbf{S}$によって、ポインティングの定理を簡単に表現すると

$$ \dfrac{dW}{dt} =-\dfrac{d}{dt} \int_{\mathcal{V}} u d\tau - \oint_{\mathcal{S}}\mathbf{S} \cdot d\mathbf{a} $$

• Part 2. 連続の方程式

体積$\mathcal{V}$内の電荷に仕事をしていない場合、その時は$\dfrac{dW}{dt}=0$であるため、ポインティングの定理は

$$ \int \dfrac{\partial u}{\partial t} d\tau =- \oint \mathbf{S} \cdot d\mathbf{a}=-\int \nabla \cdot \mathbf{S} d\tau $$

二つ目の等号は発散定理によって成立する。したがって

$$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = -\nabla \cdot \mathbf{S} $$

体積内の電磁場に蓄えられたエネルギーが変化する（左側）場合、それだけ電磁場に蓄えられたエネルギーが体積の境界を通じて逃げて行った（右側）ことを意味する。つまり、局所的なエネルギーが保存されるということである。しかし、一般的には電磁場のエネルギー自体は保存されない。電磁場と相互作用する物体と電磁場の両方のエネルギーを計算するときにのみ、エネルギーが保存される。

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