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ラグランジュの公式の導出

公式 ¹

異なる$x_{0} , \cdots , x_{n}$のデータ$(x_{0}, y_{0}) , \cdots , (x_{n} , y_{n})$について$\displaystyle l_{i} (x) := \prod_{i \ne j} \left( {{ x - x_{j} } \over { x_{i} - x_{j} }} \right)$とすると、 $$p_{n} (x) = \sum_{i=0}^{n} y_{i} l_{i} (X)$$

説明

ラグランジュの公式は、多項式補間を見つける方法の中で最もシンプルな公式だ。

導出

戦略: $l_{i}$がインデックスに対するクロネッカーのデルタ関数であることを示す。

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$$l_{i} (x_{i}) = \prod_{i \ne j} \left( {{ x_{i} - x_{j} } \over { x_{i} - x_{j} }} \right) = 1$$

$$l_{i} (x_{j}) = \prod_{i \ne j} \left( {{ x_{j} - x_{j} } \over { x_{i} - x_{j} }} \right) = 0$$ 整理すると$l_{i}(x_{j}) = \delta_{ij}$である。 $$p_{n}(x) = y_{0} l_{0}(x) + y_{1} l_{1}(x) + \cdots y_{n} l_{n}(X)$$ これを設定すると、全ての$i=0,1, \cdots , n$について、 $$p_{n}(x_{i}) =0 + \cdots + y_{i} \cdot 1 + \cdots + 0 = y_{i}$$ が成立する。

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