フーリエ余弦級数、正弦級数、偶関数と奇関数のフーリエ係数
定義
$f$を区間$[0,L)$で片わりに滑らかな関数としよう。以下で定義される$f_{e}$を区間$[-L, L)$の$f$の偶関数の拡張と言う。
$$ f_{e}(t) := \begin{cases} f(t) & -L \le t <0 \\ f(-t) & 0 \le t <L\end{cases} $$
同様に、以下で定義される$f_{o}$を区間$[-L, L)$の$f$の奇関数の拡張と言う。
$$ f_{o}(t) := \begin{cases} -f(-t) & -L \le t <0 \\ f(t) & 0 \le t <L\end{cases} $$
説明
$f_{e}$、$f_{o}$はそれぞれ$f$を偶関数、奇関数にするための定義域の拡張である。$f_{e}$と$f_{o}$を使い、$f$のフーリエ級数をコサイン項またはサイン項のみを使用して表せる。
フーリエ・コサイン級数
$$ f_{e}(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} + \sum \limits_{n=1}^{n} ( a_{n} \cos \frac{n \pi t}{L} + b_{n} \sin \frac{n\pi t}{L}) $$
$f_{e}$は偶関数であり、$t \in [0,L)$により、$f_{e}(t)=f(t)$が成り立つため、以下の式が成り立つ。
$$ a_{0}=\dfrac{1}{L}\displaystyle \int_{-L}^{L} f_{e}(t)dt=\dfrac{2}{L}\int_{0}^{L}f(t)dt $$
$$ a_{n}=\dfrac{1}{L}{\displaystyle \int_{-L}^{L} }f_{e}(t)\cos \frac{n\pi t}{L}dt=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^L } f(t)\cos \frac{n \pi t}{L}dt $$
$$ b_{n}=\dfrac{1}{L}{\displaystyle \int_{-L}^{L} }f_{e}(t)\sin \frac{n\pi}{L}tdt=0 $$
したがって、$f_{e}(t)$のフーリエ級数は
$$ f_{e}(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} + \sum \limits_{n=1}^{n} a_{n} \cos \frac{n \pi t}{L} $$
そして、$t \in [0,L)$により、$f_{e}(t)=f(t)$が成り立つため、
$$ \begin{equation} f(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} + \sum \limits_{n=1}^{n} a_{n} \cos \frac{n \pi t}{L} \label{eq1} \end{equation} $$
この時、$a_{0}=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^{L} }f(t)dt$、$a_{n}=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^{L} }f(t)\cos \frac{n\pi t}{L} dt$である。式$(1)$を$f$のフーリエ・コサイン級数と言う。
フーリエ・サイン級数
$$ f_{o}(t)=\dfrac{1}{2}a_{0} + \sum \limits_{n=1}^{n} ( a_{n} \cos \frac{n \pi t}{L} + b_{n} \sin \frac{n\pi t}{L}) $$
$f_{o}$は奇関数であり、$t \in [0,L)$により、$f_{e}(t)=f(t)$が成り立つため、以下の式が成り立つ。
$$ \begin{align*} a_{0} &= \dfrac{1}{L}\displaystyle \int_{-L}^{L} f_{o}(t)dt=0 \\ a_{n} &= \dfrac{1}{L}{\displaystyle \int_{-L}^{L} }f_{o}(t)\cos \frac{n\pi t}{L}dt=0 \\ b_{n} &= \dfrac{1}{L}{\displaystyle \int_{-L}^{L} }f_{o}(t)\sin \frac{n\pi t}{L}dt=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^L } f(t)\sin \frac{n \pi t}{L} \end{align*} $$
したがって、$f_{o}(t)$のフーリエ級数は
$$ f_{o}(t)=\sum \limits_{n=1}^{n} b_{n} \sin \frac{n \pi t}{L} $$
そして、$t \in [0,L)$で$f_{o}(t)=f(t)$が成り立つので、
$$ \begin{equation} f(t)=\sum \limits_{n=1}^{n} b_{n} \sin \frac{n \pi t}{L} \label{eq2} \end{equation} $$
この時、$b_{n}=\dfrac{2}{L}{\displaystyle \int_{0}^{L} }f(t)\sin \frac{n\pi t}{L} dt$である。式$(2)$を$f$のフーリエ・サイン級数と言う。
偶関数と奇関数のフーリエ係数
以上の内容を要約すると、次のようになる。$f$を区間$[-L,L)$で定義された関数としよう。$f$が偶関数ならば、$f$のフーリエ係数は以下の通り。
$$ \begin{align*} a_{0} &= \dfrac{2}{L} {\displaystyle \int_{0}^{L} } f(t)dt \\ a_{n} &= \dfrac{2}{L} {\displaystyle \int_{0}^{L} } f(t) \cos \frac{n \pi t}{L}dt \\ b_{n} &= 0 \end{align*} $$
$f$が奇関数ならば、$f$のフーリエ係数は以下の通り。
$$ \begin{align*} a_{0} &= 0 \\ a_{n} &= 0 \\ b_{n} &= \dfrac{2}{L} {\displaystyle \int_{0}^{L} } f(t) \sin \frac{n \pi t}{L}dt \end{align*} $$