数値解析

数値解析は、機械を動員して近似的に問題を解く方法論であり、応用数学の研究に欠かせない貴重なツールです。

関数と積分

微分

• 差分 $\Delta$
• 有限差分法 FDM
  • 複数の点を使用する有限差分の導出

補間法

• 階差 $f \left[ x_{0} , \cdots , x_{n} \right]$
  • エルミート-ジェノッキ式
• 補間
• 多項式補間
  • ラグランジュ式の導出
  • ニュートン階差商式の導出
• エルミート補間
• スプライン
  • B-スプライン

関数近似

• 関数近似
  • 最小最大化近似と最小二乗近似
• 第一種チェビシェフ多項式 $T_{n}$
• 第二種チェビシェフ多項式 $U_{n}$
• 第一種第二種チェビシェフ多項式の関係
• チェビシェフ展開
• チェビシェフノード

数値積分

• 数値積分
• 台形則 $I_{n}^{1}(f)$
• シンプソン則 $I_{n}^{2}(f)$
• ニュートン-コーツ積分公式 $I_{n}^{p}(f)$
• 数値的に異常積分を計算するための変数変換トリック
• ガウス求積法
• ラゲール多項式 $L_{n}$
• エルミート多項式 $H_{e_{n}}$, $H_{n}$
• 数値的に異常積分を計算するためのガウス求積法

方程式

代数方程式の数値解法

• 収束率
• 二分法
• ニュートン-ラフソン法
  • 非線形システムを解くためのニュートン法
• 割線法
• ミュラー法

微分方程式の数値解法

• リプシッツ条件
• オイラー法
  • 強リプシッツ条件とオイラー法の誤差
  • 初期値が少し変わったときのオイラー法の誤差
• マルチステップ法
  • マルチステップ法の一貫性と収束次数
  • マルチステップ法の収束性と誤差
• 寄生解
  • 中点法
• 台形法
• リチャードソン誤差推定
• アダムス法
• マルチステップ法のルート条件
  • 一貫性のあるマルチステップ法の安定性とルート条件
  • 一貫性のあるマルチステップ法の収束性とルート条件
• A-安定
• 陽的ルンゲ-クッタ法^ERK
  • 4次ルンゲ-クッタ法^RK4
  • 係数を決定する方法
• 陰的ルンゲ-クッタ法^IRK

偏微分方程式

• 熱方程式：差分法(FDM)
• 熱方程式：the method of lines
• 波動方程式: 差分法(FDM)
• 波動方程式: $k$-space method
• 波動方程式: 吸収境界条件

主要参考文献

• Atkinson. (1989). An Introduction to Numerical Analysis(2nd Edition)