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数値解析における差分

定義¹

1. 前進差分： $$ \begin{align*} \Delta f(x) =& f(x+h) - f(x) \\ \Delta^{r+1} f(x) =& \Delta^{r} f(x+h) - \Delta^{r} f(x) \end{align*} $$
2. 後退差分： $$ \begin{align*} \nabla f(x) =& f(x) - f(x- h) \\ \nabla^{r+1} f(x) =& \nabla^{r} f(x) - \nabla^{r} f(x- h) \end{align*} $$

説明

一般に階差^differenceとは数列全般で使われる言葉だが、数値解析では特に二つのノードポイントの関数値の差を指す。実は高校の頃からずっと見てきたので、慣れていると言えば慣れている演算子だが、数値解析でよく登場する公式を見るとかなり複雑に使われる方だ。公式を簡潔に表すのに大いに役立つものの、その分読みにくい。

このような演算子が多く使われた数式は、代数的な操作が思ったより難しく、多くの練習が必要だ。

関連リンク

• 時系列分析における差分
• 有限差分法 FDM
  • 複数の点を使用する有限差分の導出