ガンマ分布とポアソン分布の関係
定理
全ての自然数 $k$に対して、次が成り立つ。 $$ \int_{\mu}^{\infty} { { z^{k-1} e^{-z} } \over { \Gamma (k) } } dz = \sum_{x=0}^{k-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } $$
- $\Gamma$ はガンマ関数だ。
説明
- $k, \theta > 0$ に関して、次のような確率密度関数を持つ連続確率分布 $\Gamma ( k , \theta )$ をガンマ分布gamma distributionと呼ぶ。 $$ f(x) = {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} x^{k - 1} e^{ - x / \theta} \qquad , x > 0 $$
- $\lambda > 0$ に関して、次のような確率質量関数を持つ離散確率分布 $\text{Poi} ( \lambda )$ をポアソン分布poisson distributionと呼ぶ。 $$ p(x) = {{ e^{-\lambda} \lambda^{x} } \over { x! }} \qquad , x = 0 , 1 , 2, \cdots $$
この等式は、ガンマ分布とポアソン分布の累積確率分布関数が関係していることを示している。これはガンマ分布が指数分布との関係を持っていることから十分にあり得ると想像できる。
証明
数学的帰納法を使用する。
$k=1$ のとき $$ \int_{\mu}^{\infty} { { z^{0} e^{-z} } \over { \Gamma (0) } } dz = e^{-\mu} = \sum_{x=0}^{0} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } $$ $k=N$ のとき$\displaystyle \int_{\mu}^{\infty} { { z^{N-1} e^{-z} } \over { \Gamma (N) } } dz = \sum_{x=0}^{N-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} }$ が成り立つと仮定すると、部分積分法によると $$ \begin{align*} \int_{\mu}^{\infty} { { z^{N-1} e^{-z} } \over \Gamma (N) } dz =& \int_{\mu}^{\infty} { { z^{N-1} e^{-z} } \over { (N-1)! } } dz \\ =& \left[ { { z^{N} e^{-z} } \over { N! } } \right] _{\mu} ^{\infty} - \int_{\mu}^{\infty} - { { z^{N} e^{-z} } \over { N! } } dz \\ =& - { { {\mu}^{N} e^{-\mu} } \over { N! } } + \int_{\mu}^{\infty} { { z^{N} e^{-z} } \over { \Gamma (N+1) } } dz \\ =& \sum_{x=0}^{N-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } \end{align*} $$ 最後の二行を再整理すると $$ \begin{align*} \int_{\mu}^{\infty} { { z^{N} e^{-z} } \over { \Gamma (N+1) } } dz =& { { {\mu}^{N} e^{-\mu} } \over { N! } } + \sum_{x=0}^{N-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } \\ =& \sum_{x=0}^{N} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } \end{align*} $$ であり、数学的帰納法により全ての自然数 $k$ に対して、次が成り立つ。 $$ \int_{\mu}^{\infty} { { z^{k-1} e^{-z} } \over { \Gamma (k) } } dz = \sum_{x=0}^{k-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } $$
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