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ガンマ分布とポアソン分布の関係 📂確率分布論

ガンマ分布とポアソン分布の関係

定理

全ての自然数 kkに対して、次が成り立つ。 ∫μ∞zk−1e−zΓ(k)dz=∑x=0k−1μxe−μx! \int_{\mu}^{\infty} { { z^{k-1} e^{-z} } \over { \Gamma (k) } } dz = \sum_{x=0}^{k-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} }

説明

  • k,θ>0k, \theta > 0 に関して、次のような確率密度関数を持つ連続確率分布 Γ(k,θ)\Gamma ( k , \theta ) をガンマ分布gamma distributionと呼ぶ。 f(x)=1Γ(k)θkxk−1e−x/θ,x>0 f(x) = {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} x^{k - 1} e^{ - x / \theta} \qquad , x > 0
  • λ>0\lambda > 0 に関して、次のような確率質量関数を持つ離散確率分布 Poi(λ)\text{Poi} ( \lambda ) をポアソン分布poisson distributionと呼ぶ。 p(x)=e−λλxx!,x=0,1,2,⋯ p(x) = {{ e^{-\lambda} \lambda^{x} } \over { x! }} \qquad , x = 0 , 1 , 2, \cdots

この等式は、ガンマ分布とポアソン分布の累積確率分布関数が関係していることを示している。これはガンマ分布が指数分布との関係を持っていることから十分にあり得ると想像できる。

証明

数学的帰納法を使用する。

k=1k=1 のとき ∫μ∞z0e−zΓ(0)dz=e−μ=∑x=00μxe−μx! \int_{\mu}^{\infty} { { z^{0} e^{-z} } \over { \Gamma (0) } } dz = e^{-\mu} = \sum_{x=0}^{0} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } k=Nk=N のとき∫μ∞zN−1e−zΓ(N)dz=∑x=0N−1μxe−μx!\displaystyle \int_{\mu}^{\infty} { { z^{N-1} e^{-z} } \over { \Gamma (N) } } dz = \sum_{x=0}^{N-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } が成り立つと仮定すると、部分積分法によると ∫μ∞zN−1e−zΓ(N)dz=∫μ∞zN−1e−z(N−1)!dz=[zNe−zN!]μ∞−∫μ∞−zNe−zN!dz=−μNe−μN!+∫μ∞zNe−zΓ(N+1)dz=∑x=0N−1μxe−μx! \begin{align*} \int_{\mu}^{\infty} { { z^{N-1} e^{-z} } \over \Gamma (N) } dz =& \int_{\mu}^{\infty} { { z^{N-1} e^{-z} } \over { (N-1)! } } dz \\ =& \left[ { { z^{N} e^{-z} } \over { N! } } \right] _{\mu} ^{\infty} - \int_{\mu}^{\infty} - { { z^{N} e^{-z} } \over { N! } } dz \\ =& - { { {\mu}^{N} e^{-\mu} } \over { N! } } + \int_{\mu}^{\infty} { { z^{N} e^{-z} } \over { \Gamma (N+1) } } dz \\ =& \sum_{x=0}^{N-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } \end{align*} 最後の二行を再整理すると ∫μ∞zNe−zΓ(N+1)dz=μNe−μN!+∑x=0N−1μxe−μx!=∑x=0Nμxe−μx! \begin{align*} \int_{\mu}^{\infty} { { z^{N} e^{-z} } \over { \Gamma (N+1) } } dz =& { { {\mu}^{N} e^{-\mu} } \over { N! } } + \sum_{x=0}^{N-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } \\ =& \sum_{x=0}^{N} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} } \end{align*} であり、数学的帰納法により全ての自然数 kk に対して、次が成り立つ。 ∫μ∞zk−1e−zΓ(k)dz=∑x=0k−1μxe−μx! \int_{\mu}^{\infty} { { z^{k-1} e^{-z} } \over { \Gamma (k) } } dz = \sum_{x=0}^{k-1} { { {\mu}^{x} e^{-\mu} } \over {x!} }

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