ウィーナープロセス
定義
$s< t < t+u$ とした時、以下の条件を満たす確率過程 $\left\{ W_{t} \right\}$ をウィーナー過程と呼ぶ。
- (i): $W_{0} = 0$
- (ii): $\left( W_{t+u} - W_{t} \right) \perp W_{s}$
- (iii): $\left( W_{t+u} - W_{t} \right) \sim N ( 0, u )$
- (iv): $W_{t}$ のサンプルパスはほとんど至る所で連続である。
基本性質
- [1]: $\displaystyle W_{t} \sim N ( 0 , t )$
- [2]: $\displaystyle E ( W_{t} ) = 0$
- [3]: $\displaystyle \text{Var} ( W_{t} ) = t$
- 4: $\displaystyle \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = E (W_{t}W_{s}) = {{1} \over {2}} (|t| + |s| - |t-s|) = \min \left\{ t , s \right\}$
説明
ウィーナー過程はブラウン運動brownian motionとも呼ばれる。
(ii): $\left( W_{t+u} - W_{t} \right) \perp W_{s}$ と言うことは
(iii): 増分が正規分布 $N(0,t)$ に従うということは、ウィーナー過程は特定の時点には関心がなく、二つの時点を比ぼうした時、その時差が大きくなるほど不確実性が大きくなることを意味する。
(iv): サンプルパスがほとんど至る所で連続であるということは、ウィーナー過程に従うある点があった時、その点が「瞬間移動」する確率が$0$ と見ても良いということだ。難しいなら、突然の跳躍をしないとだけ知っておけば十分だ。
[1]: 面白い事実は$W_{t}$ の確率密度関数 $$ f_{W_{t}} (x,t) = {{1} \over { \sqrt{ 2 \pi t } }} e^{ - {{x^2} \over {2t} } } $$ が熱方程式 $$ {{\partial u } \over { \partial t }} = {{1} \over {2}} {{\partial^2 u } \over { \partial x^2 }} $$ の解になるということだ。
証明
[1]
(i)と(iii)によって、$W_{t} = W_{t} - 0 = W_{t} - W_{0} \sim N ( 0 , t )$
■
[2]
[1]により$W_{t}$ が正規分布に従うため、$\displaystyle E ( W_{t} ) = 0$
■
[3]
[1]により$W_{t}$ が正規分布に従うため、$\displaystyle \text{Var} ( W_{t} ) = t$
■
4
$t > s$ とすると、共分散の定義と[2]により $$ \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = E \left( \left[ W_{t} - E ( W_{t} ) \right] \left[ W_{s} - E ( W_{s} ) \right] \right) = E \left( W_{t} W_{s} \right) $$
$W_{t} = ( W_{t} - W_{s} ) + W_{s}$ だから
$$ \begin{align*} E \left( W_{t} W_{s} \right) =& E \left[ \left( ( W_{t} - W_{s} ) + W_{s} \right) \cdot W_{s} \right] \\ =& E \left[ ( W_{t} - W_{s} ) \cdot W_{s} \right] + E \left( W_{s}^{2} \right) \end{align*} $$
(ii)と[2]による最初の項は
$$ E \left[ ( W_{t} - W_{s} ) \cdot W_{s} \right] = E ( W_{t} ) \cdot E ( W_{t} - W_{s} ) = 0 $$
[3]による2番目の項は
$$ E \left( W_{s}^{2} \right) - 0^2 = E \left( W_{s}^{2} \right) - \left[ E ( W_{s} ) \right]^2 = \text{Var} ( W_{s} ) = s $$
まとめると、$\displaystyle \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = s$ となる。一方、$s > t$ の時も同じ結果が得られるため
$$ \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = \min \left\{ t , s \right\} $$
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