logo

ウィーナープロセス 📂確率論

ウィーナープロセス

定義

s<t<t+us< t < t+u とした時、以下の条件を満たす確率過程 {Wt}\left\{ W_{t} \right\} をウィーナー過程と呼ぶ。

  • (i): W0=0W_{0} = 0
  • (ii): (Wt+u−Wt)⊥Ws\left( W_{t+u} - W_{t} \right) \perp W_{s}
  • (iii): (Wt+u−Wt)∼N(0,u)\left( W_{t+u} - W_{t} \right) \sim N ( 0, u )
  • (iv): WtW_{t} のサンプルパスはほとんど至る所で連続である。

基本性質

  • [1]: Wt∼N(0,t)\displaystyle W_{t} \sim N ( 0 , t )
  • [2]: E(Wt)=0\displaystyle E ( W_{t} ) = 0
  • [3]: Var⁡(Wt)=t\displaystyle \operatorname{Var} ( W_{t} ) = t
  • 4: cov(Wt,Ws)=E(WtWs)=12(∣t∣+∣s∣−∣t−s∣)=min⁡{t,s}\displaystyle \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = E (W_{t}W_{s}) = {{1} \over {2}} (|t| + |s| - |t-s|) = \min \left\{ t , s \right\}

説明

ウィーナー過程はブラウン運動brownian motionとも呼ばれる。

  • (ii): (Wt+u−Wt)⊥Ws\left( W_{t+u} - W_{t} \right) \perp W_{s} と言うことは

  • (iii): 増分が正規分布 N(0,t)N(0,t) に従うということは、ウィーナー過程は特定の時点には関心がなく、二つの時点を比ぼうした時、その時差が大きくなるほど不確実性が大きくなることを意味する。

  • (iv): サンプルパスがほとんど至る所で連続であるということは、ウィーナー過程に従うある点があった時、その点が「瞬間移動」する確率が00 と見ても良いということだ。難しいなら、突然の跳躍をしないとだけ知っておけば十分だ。

  • [1]: 面白い事実はWtW_{t} の確率密度関数 fWt(x,t)=12πte−x22t f_{W_{t}} (x,t) = {{1} \over { \sqrt{ 2 \pi t } }} e^{ - {{x^2} \over {2t} } } が熱方程式 ∂u∂t=12∂2u∂x2 {{\partial u } \over { \partial t }} = {{1} \over {2}} {{\partial^2 u } \over { \partial x^2 }} の解になるということだ。

証明

[1]

(i)と(iii)によって、Wt=Wt−0=Wt−W0∼N(0,t)W_{t} = W_{t} - 0 = W_{t} - W_{0} \sim N ( 0 , t )

■

[2]

[1]によりWtW_{t} が正規分布に従うため、E(Wt)=0\displaystyle E ( W_{t} ) = 0

■

[3]

[1]によりWtW_{t} が正規分布に従うため、Var⁡(Wt)=t\displaystyle \operatorname{Var} ( W_{t} ) = t

■

4

t>st > s とすると、共分散の定義と[2]により cov(Wt,Ws)=E([Wt−E(Wt)][Ws−E(Ws)])=E(WtWs) \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = E \left( \left[ W_{t} - E ( W_{t} ) \right] \left[ W_{s} - E ( W_{s} ) \right] \right) = E \left( W_{t} W_{s} \right)

Wt=(Wt−Ws)+WsW_{t} = ( W_{t} - W_{s} ) + W_{s} だから

E(WtWs)=E[((Wt−Ws)+Ws)⋅Ws]=E[(Wt−Ws)⋅Ws]+E(Ws2) \begin{align*} E \left( W_{t} W_{s} \right) =& E \left[ \left( ( W_{t} - W_{s} ) + W_{s} \right) \cdot W_{s} \right] \\ =& E \left[ ( W_{t} - W_{s} ) \cdot W_{s} \right] + E \left( W_{s}^{2} \right) \end{align*}

(ii)と[2]による最初の項は

E[(Wt−Ws)⋅Ws]=E(Wt)⋅E(Wt−Ws)=0 E \left[ ( W_{t} - W_{s} ) \cdot W_{s} \right] = E ( W_{t} ) \cdot E ( W_{t} - W_{s} ) = 0

[3]による2番目の項は

E(Ws2)−02=E(Ws2)−[E(Ws)]2=Var⁡(Ws)=s E \left( W_{s}^{2} \right) - 0^2 = E \left( W_{s}^{2} \right) - \left[ E ( W_{s} ) \right]^2 = \operatorname{Var} ( W_{s} ) = s

まとめると、cov(Wt,Ws)=s\displaystyle \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = s となる。一方、s>ts > t の時も同じ結果が得られるため

cov(Wt,Ws)=min⁡{t,s} \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = \min \left\{ t , s \right\}

■