チェビシェフ微分方程式の直列解法
定義
次の微分方程式をチェビシェフChebyshev 微分方程式という。
$$ (1-x^2)\dfrac{d^2 y}{dx^2} -x\dfrac{dy}{dx}+n^2 y=0 $$
説明
係数に独立変数 $x$が含まれる形式であり、解がべき級数の形であると仮定すると、解くことができる。チェビシェフ方程式の解をチェビシェフ多項式と言い、解は一般的に$T_{n}(x)$と表される。
解法
$$ \begin{equation} (1-x^2)y^{\prime \prime} -xy^{\prime}+\lambda^2 y=0 \label{1} \end{equation} $$
上で示したチェビシェフ微分方程式の解を次のように仮定しよう。
$$ y=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_2(x-x_{0})^2+\cdots=\sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}(x-x_{0})^n $$
このとき$x=0$であるとき$y^{\prime \prime}$の係数が$(1-x^2)|_{x=0}=1\ne 0$であるので、$x_{0}=0$としよう。すると
$$ \begin{equation} y=a_{0}+a_{1}x+a_2x^2+\cdots=\sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n \label{2} \end{equation} $$
べき級数解として解法を始めるが、解法の最後に実際には$y$の項が有限であることが分かる。今$\eqref{1}$に代入するために、$y^{\prime}$と$y^{\prime \prime}$を求めよう。
$$ y^{\prime}=a_{1}+2a_2x+3a_{3}x^2+\cdots=\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n-1} $$
$$ y^{\prime \prime}=2a_2+3\cdot 2a_{3}x+4\cdot 3 a_{4}x^2 +\cdots = \sum \limits_{n=2} n(n-1)a_{n}x^{n-2} $$
$\eqref{1}$に$y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}$を代入すると次のようになる。
$$ (1-x^2)\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -x\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n-1}+\lambda^2 \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n=0 $$
一番目の項の係数$(1-x^2)$の括弧を外して整理すると
$$ \sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -x^2\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -x\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n-1}+\lambda^2 \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n = 0 $$
$$ \implies \sum \limits_{n=2} ^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n} -\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n}+\lambda^2 \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n = 0 $$
ここでのポイントは$x$の次数を合わせることである。残りはすべて$x^n$として表されるが、最初の級数だけが$x^{n-2}$で表されているので、$n$の代わりに$n+2$を代入すると
$$ \sum \limits_{n=0} ^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} -\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n} -\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n}+\lambda^2 \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n=0 $$
二番目の級数が$x^2$項から始まるので、残りの級数から$n=0,1$の項を取り除いて、定数項は定数項同士、一次項は一次項同士をまとめると
$$ \left[ 2\cdot 1 a_2+\lambda^2 a_{0} \right]+\left[ 3\cdot 2 a_{3}-a_{1}+\lambda^2a_{1} \right]x \\ + \sum \limits_{n=2}^\infty \left[ (n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n-1)a_{n}-na_{n}+\lambda^2a_{n} \right] x^n=0 $$
上の式が成り立つためには、すべての係数が$0$でなければならない。
$$ 2\cdot 1 a_2+\lambda^2 a_{0} = 0 $$
$$ 3\cdot 2 a_{3}-a_{1}+\lambda^2a_{1} =0 $$
$$ (n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n-1)a_{n}-na_{n}+\lambda^2a_{n}=0 $$
それぞれを整理すると
$$ \begin{align} a_2 &= -\dfrac{\lambda^2}{2 \cdot 1}a_{0} \label{3} \\ a_{3} &=-\dfrac{\lambda^2-1^2}{3\cdot 2} a_{1} \label{4} \\ a_{n+2} &= -\dfrac{\lambda^2-n^2}{(n+2)(n+1)}a_{n} \label{5} \end{align} $$
漸化式$\eqref{5}$を得たので、$a_{0}$と$a_{1}$の値さえ分かれば、すべての係数が分かる。$\eqref{3}, \eqref{5}$から偶数次の項の係数を求めると
$$ \begin{align*} a_{4} &= -\dfrac{\lambda^2-2^2}{4\cdot 3}a_2=\dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)}{4!}a_{0} \\ a_{6} &= -\dfrac{\lambda^2-4^2}{6\cdot 5}a_{4}= -\dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)(\lambda^2-4^2)}{6!}a_{0} \\ &\vdots \end{align*} $$
ここで$n=2m (m=1,2,3,\cdots)$とすると
$$ a_{n}=a_{2m}=(-1)^m \dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)\cdots(\lambda^2-(2m-2)^2)}{(2m)!}a_{0} $$
同様に$\eqref{4}, \eqref{5}$から奇数次の項の係数を求めると
$$ \begin{align*} a_{5} &= -\dfrac{\lambda^2-3^2}{5\cdot 4}a_{3}=\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2)}{5!}a_{1} \\ a_{7} &= -\dfrac{\lambda^2-5^2}{7\cdot 6 }a_{5}=-\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2)(\lambda^2-5^2)}{7!}a_{1} \\ &\vdots \end{align*} $$
ここで$n=2m+1 (m=1,2,3,\cdots)$とすると
$$ a_{n}=a_{2m+1}=(-1)^m\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2) \cdots (\lambda^2-(2m-1)^2)}{(2m+1)!}a_{1} $$
このように求めた係数を$\eqref{2}$に代入して解を求めると
$$ \begin{align*} y = &a_{0}+a_{1}x -\dfrac{\lambda^2}{2!}a_{0}x^2-\dfrac{\lambda^2-1^2}{3!} a_{1}x^3 + \dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)}{4!}a_{0}x^4 \\ &+\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2)}{5!}a_{1}x^5+ \cdots +(-1)^m \dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)\cdots(\lambda^2-(2m-2)^2)}{(2m)!}a_{0}x^{2m} \\ &+(-1)^m\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2) \cdots (\lambda^2-(2m-1)^2)}{(2m+1)!}a_{1}x^{2m+1}+\cdots\quad(m=1,2,3,\cdots) \end{align*} $$
このとき偶数次の項は$a_{0}$で、奇数次の項は$a_{1}$でまとめると
$$ \begin{align*} y&=a_{0}\left[1-\dfrac{\lambda^2}{2!}x^2+\dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)}{4!}x^4+\sum \limits_{m=3}^\infty (-1)^m \dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)\cdots(\lambda^2-(2m-2)^2)}{(2m)!} x^{2m} + \cdots \right] \\ & + a_{1}\left[x-\dfrac{\lambda^2-1^2}{3!}x^3+\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2)}{5!}x^5+\sum \limits_{m=3}^\infty (-1)^m\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2) \cdots (\lambda^2-(2m-1)^2)}{(2m+1)!} x^{2m+1} + \cdots\right] \end{align*} $$
最初の括弧を$y_{0}$、二番目の括弧を$y_{1}$とすると、チェビシェフ方程式の一般解は次のようになる。
$$ y=a_{0}y_{0}+a_{1}y_{1} $$
二つの級数$y_{0}$と$y_{1}$は比率判定法により$|x|<1$の範囲で収束することが分かる。$\eqref{5}$により$\dfrac{a_{n+2}}{a_{n}}=\dfrac{n^2-\lambda^2}{(n+2)(n+1)}=\dfrac{n^2-\lambda^2}{n^2+3n+2}$であるため比率判定法を使うと
$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{n^2-\lambda^2}{n^2+3n+2}x^2=x^2<1 $$
$$ \implies -1<x<1 $$
しかし、多くの問題では$x=\cos \theta$、$\lambda$は非負の整数の形で表され、すべての$\theta$に対して収束する解を求めることが目標である。すなわち、$x=\pm 1$でも収束する解を見つけることが目標である。幸いにも$\lambda$が整数の場合、求める解が存在するが、このとき$\lambda$の値によって必ず$y_{0}, y_{1}$のどちらか一方の解のみが存在する。$\lambda$が$0$または偶数の場合は$y_{1}$が発散し、$y_{0}$は偶数次の項だけを持つ有限項の多項式となる。$\lambda$が奇数の場合は$y_{0}$が発散し、$y_{1}$は奇数次の項だけを持つ有限項の多項式となる。表で整理すると以下のようになる。
| $\lambda$の値 | $y_{0}$ | $y_{1}$ | 方程式の解 |
|---|---|---|---|
| $0$または偶数 | 有限項の多項式 | 発散 | $y=a_{0}y_{0}$ |
| 奇数 | 発散 | 有限項の多項式 | $y=a_{1}y_{1}$ |
ケース 1. $\lambda$が$0$または偶数の場合
$\lambda=0$の場合、2次項から$\lambda^2$を因数として持っており、すべて$0$になるため$y_{0}=1$
$\lambda=2$の場合、4次項から$(\lambda^2-2^2)$を因数として持っており、すべて$0$になるため$y_{0}=1-x^2$
$\lambda=4$の場合、6次項から$(\lambda^2-4^2)$を因数として持っており、すべて$0$になるため$y_{0}=1-8x^2+8x^4$
そして$\lambda=0$の場合、$x=1$の$y_{1}=1+\frac{1}{3!}+\frac{1\cdot3^2}{5!}+\cdots$は発散する。他の偶数の場合も同じである。したがって、$\lambda$が$0$または偶数の場合は、解が偶数次の項のみを持つ有限項の多項式となる。つまり、級数$y_{0}$の特定の項までのみ残る形の解を得る。$\lambda$が奇数の場合は、反対の結果を得る。
ケース 2. $\lambda$が奇数の場合
$\lambda=1$の場合、3次項から$(\lambda^2-1^2)$を因数として持っており、すべて$0$になるため$y_{1}=x$
$\lambda=3$の場合、5次項から$(\lambda^2-3^2)$を因数として持っており、すべて$0$になるため$y_{1}=-3x+4x^3$
$\lambda=5$の場合、7次項から$(\lambda^2-5^2)$を因数として持っており、すべて$0$になるため$y_{1}=5x-20x^3+16x^5$
$\lambda=1$の場合、$x^2=1$の$y_{0}$は発散する。他の奇数の場合も同じである。したがって、$\lambda$が奇数の場合は、解が奇数次の項のみを持つ有限項の多項式となる。つまり、級数$y_{1}$の特定の項までのみ残る形の解を得る。
そして$\lambda$が負の場合は、$\lambda$が正の場合と同じであることが、$y_{0}$と$y_{1}$を見ると分かる。例えば、$\lambda=2$の場合と$\lambda=-2$の場合が同じであり、$\lambda=1$の場合と$\lambda=-1$の場合が同じである。したがって、$\lambda$は非負の整数の範囲で考えればよい。$a_{0}$と$a_{1}$の値をうまく選択して、$x=1$のときの解が$y(x)=1$になるようにすれば、これをチェビシェフ多項式Chebyshev polynomialと言い、通常$T_{n}(x)$と表記される。初めのいくつかのチェビシェフ多項式は以下のようである。
$$ \begin{align*} T_{0}(x) &= 1 \\ T_{1}(x) &= x \\ T_2(x) &= 2x^2-1 \\ T_{3}(x) &= 4x^3-3x \\ T_{4}(x) &= 8x^4-8x^2+1 \\ T_{5}(x) &= 16x^5-20x^3+5x \\ \vdots & \end{align*} $$