📂電磁気学

束縛電流密度と磁化された物体が作るベクトル磁場

説明¹

外部磁場によって磁化された物体があるとしよう。この物体は磁化密度 $\mathbf{M}$を持っていることになり、この磁化密度によって新しい磁場が生まれる。磁気双極子が作るベクトルポテンシャルは以下の通りだ。

$$ \mathbf{A} (\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\dfrac{\mathbf{m} \times \crH }{\cR ^2} $$

磁化密度は単位体積あたりの双極子モーメントであるため、$\mathbf{M}=\dfrac{\mathbf{m}}{d\tau}$となる。これを上記の式に代入して全体積に対して積分すると、磁化された物体が作るベクトルポテンシャルは以下の通りになる。

$$ \mathbf{A} (\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int\dfrac{ \mathbf{M}(\mathbf{r}^{\prime}) \times \crH }{\cR ^2} d \tau^{\prime} $$

この時、分離ベクトルの勾配は$\nabla^{\prime} \dfrac{1}{\cR} = \dfrac{\crH}{\cR^2}$であるため、

$$ \mathbf{A} (\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \mathbf{M}(\mathbf{r}^{\prime}) \times \nabla^{\prime}\dfrac{1}{\cR} d \tau^{\prime} $$

デル演算子を含む乗算ルール

$$ \nabla \times (f \mathbf{A})=(\nabla f)\times \mathbf{A} + f(\nabla \times A) \implies \mathbf{A} \times (\nabla f) = f(\nabla \times \mathbf{A}) -\nabla \times ( f\mathbf{A}) $$

積分の中の外積に乗算ルールを適用すると次のようになる。

$$ \mathbf{A} (\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \left[ \int \frac{1}{\cR}\left[\nabla^{\prime} \times \mathbf{M} (\mathbf{r}^{\prime}) \right] d \tau^{\prime} - \int \nabla^{\prime} \times \dfrac{\mathbf{M}(\mathbf{r^{\prime}})}{\cR}d \tau^{\prime}\right] $$

ここで、第二項を変えるためにガウスの定理を使用する。

ガウスの定理（発散定理）

$$ \int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{ F} dV = \oint _\mathcal{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} $$

すると、式は下のようになる。

$$ \mathbf{A} (\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \left[ \int \frac{1}{\cR} \left[\nabla^{\prime} \times \mathbf{M} (\mathbf{r}^{\prime}) \right] d \tau^{\prime} + \oint \dfrac{\mathbf{M}(\mathbf{r^{\prime}})}{\cR} \times d \mathbf{a}^{\prime}\right] $$

ここで、第一項は体積電流密度$\mathbf{J}_{b}$によって作られるポテンシャルと見なせる。下付き文字$b$はbound（束縛）の略である。

$$ \mathbf{J}_{b}=\nabla \times \mathbf{M} $$

第二項は面電流密度$\mathbf{K}_{b}$によって作られるポテンシャルと見なせる。

$$ \mathbf{K}_{b}=\mathbf{M} \times \hat{\mathbf{n}} $$

ここで、$\hat{\mathbf{n}}$は各表面に垂直な単位法線ベクトルである。これで、ベクトルポテンシャルを束縛電流密度で表すと以下のようになる。

$$ \mathbf{A} (\mathbf{r})=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int_\mathcal{V} \dfrac{\mathbf{J}_{b}(\mathbf{r}^{\prime})}{\cR}d\tau^{\prime}+\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\oint_\mathcal{S}\dfrac{\mathbf{K}_{b} (\mathbf{r}^{\prime})}{\cR}da^{\prime} $$

したがって、磁化された物体が作るベクトルポテンシャルは、物体内の体積電流密度$\mathbf{J}_{b}=\nabla \times \mathbf{M}$と物体の表面にある面電流密度$\mathbf{K}_{b}=\mathbf{M} \times \hat{\mathbf{n}}$が作るポテンシャルと同じである。これは、束縛電荷$\rho_{b}$と$\sigma_{b}$を定義し、分極された物体が作るポテンシャルを表したものと同じである。