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束縛電流密度と磁化された物体が作るベクトル磁場 📂電磁気学

束縛電流密度と磁化された物体が作るベクトル磁場

説明1

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外部磁場によって磁化された物体があるとしよう。この物体は磁化密度 M\mathbf{M}を持っていることになり、この磁化密度によって新しい磁場が生まれる。磁気双極子が作るベクトルポテンシャルは以下の通りだ。

A(r)=μ04πm×2 \mathbf{A} (\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\dfrac{\mathbf{m} \times \crH }{\cR ^2}

磁化密度は単位体積あたりの双極子モーメントであるため、M=mdτ\mathbf{M}=\dfrac{\mathbf{m}}{d\tau}となる。これを上記の式に代入して全体積に対して積分すると、磁化された物体が作るベクトルポテンシャルは以下の通りになる。

A(r)=μ04π∫M(r′)×2dτ′ \mathbf{A} (\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int\dfrac{ \mathbf{M}(\mathbf{r}^{\prime}) \times \crH }{\cR ^2} d \tau^{\prime}

この時、分離ベクトルの勾配は∇′1=2\nabla^{\prime} \dfrac{1}{\cR} = \dfrac{\crH}{\cR^2}であるため、

A(r)=μ04π∫M(r′)×∇′1dτ′ \mathbf{A} (\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \mathbf{M}(\mathbf{r}^{\prime}) \times \nabla^{\prime}\dfrac{1}{\cR} d \tau^{\prime}

デル演算子を含む乗算ルール

∇×(fA)=(∇f)×A+f(∇×A)  ⟹  A×(∇f)=f(∇×A)−∇×(fA) \nabla \times (f \mathbf{A})=(\nabla f)\times \mathbf{A} + f(\nabla \times A) \implies \mathbf{A} \times (\nabla f) = f(\nabla \times \mathbf{A}) -\nabla \times ( f\mathbf{A})

積分の中の外積に乗算ルールを適用すると次のようになる。

A(r)=μ04π[∫1[∇′×M(r′)]dτ′−∫∇′×M(r′)dτ′] \mathbf{A} (\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \left[ \int \frac{1}{\cR}\left[\nabla^{\prime} \times \mathbf{M} (\mathbf{r}^{\prime}) \right] d \tau^{\prime} - \int \nabla^{\prime} \times \dfrac{\mathbf{M}(\mathbf{r^{\prime}})}{\cR}d \tau^{\prime}\right]

ここで、第二項を変えるためにガウスの定理を使用する。

ガウスの定理（発散定理）

∫V∇⋅FdV=∮SF⋅dS \int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{ F} dV = \oint _\mathcal{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}

すると、式は下のようになる。

A(r)=μ04π[∫1[∇′×M(r′)]dτ′+∮M(r′)×da′] \mathbf{A} (\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \left[ \int \frac{1}{\cR} \left[\nabla^{\prime} \times \mathbf{M} (\mathbf{r}^{\prime}) \right] d \tau^{\prime} + \oint \dfrac{\mathbf{M}(\mathbf{r^{\prime}})}{\cR} \times d \mathbf{a}^{\prime}\right]

ここで、第一項は体積電流密度Jb\mathbf{J}_{b}によって作られるポテンシャルと見なせる。下付き文字bbはbound（束縛）の略である。

Jb=∇×M \mathbf{J}_{b}=\nabla \times \mathbf{M}

第二項は面電流密度Kb\mathbf{K}_{b}によって作られるポテンシャルと見なせる。

Kb=M×n^ \mathbf{K}_{b}=\mathbf{M} \times \hat{\mathbf{n}}

ここで、n^\hat{\mathbf{n}}は各表面に垂直な単位法線ベクトルである。これで、ベクトルポテンシャルを束縛電流密度で表すと以下のようになる。

A(r)=μ04π∫VJb(r′)dτ′+μ04π∮SKb(r′)da′ \mathbf{A} (\mathbf{r})=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int_\mathcal{V} \dfrac{\mathbf{J}_{b}(\mathbf{r}^{\prime})}{\cR}d\tau^{\prime}+\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\oint_\mathcal{S}\dfrac{\mathbf{K}_{b} (\mathbf{r}^{\prime})}{\cR}da^{\prime}

したがって、磁化された物体が作るベクトルポテンシャルは、物体内の体積電流密度Jb=∇×M\mathbf{J}_{b}=\nabla \times \mathbf{M}と物体の表面にある面電流密度Kb=M×n^\mathbf{K}_{b}=\mathbf{M} \times \hat{\mathbf{n}}が作るポテンシャルと同じである。これは、束縛電荷ρb\rho_{b}とσb\sigma_{b}を定義し、分極された物体が作るポテンシャルを表したものと同じである。

  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역) (4th Edition1 2014), p293-294 ↩︎