量子力学における水素原子の最小エネルギー
定理
水素原子の最小エネルギーは次の通りだ。
$$ E_{min}=-\frac{1}{2}mc^2\alpha^{2} $$
$m$は水素原子の質量、$c$は光速、$\alpha$は微細構造定数だ。
説明
ここで、$\alpha$は$\alpha = \dfrac{e^2}{\hbar c}$のように定義される微細構造定数fine structure constantであり、その値は$\alpha\simeq\dfrac{1}{137}$だ。
証明
水素原子のエネルギー$E$は
$$ \begin{align*} E &= \frac{p^2}{2m}-\frac{e^2}{r} \\ &= \frac{1}{2m}\frac{{\hbar}^2}{r^2}-\frac{e^2}{r} \end{align*} $$
不確定性原理により $$pr \simeq \hbar$$ $E$が最小である場合を求めるためには $$ \left. \frac{\partial E}{\partial r} \right|_{r=r_{0}}=0 -\frac{{\hbar}^2}{m{r_{0}}^3}+\frac{e^2}{{r_{0}}^2}=0 -\frac{{\hbar}^2}{m}+e^2r_{0}=0 r_{0}=\frac{{\hbar}^2}{me^2} $$
$$ \begin{align*} \implies E_{min} &= \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{m^2e^4}{{\hbar}^4}-\frac{me^4}{{\hbar}^2} \\ &= \frac{me^4}{2{\hbar}^2}-\frac{me^4}{{\hbar}^2} \\ &= -\frac{1}{2}\frac{me^4}{{\hbar}^2} \\ &= -\frac{1}{2}\frac{me^4{\color{blue}{c^2}}}{{\hbar}^2{\color{blue}{c^2}}} \\ &= -\frac{1}{2}mc^2\alpha ^2 \end{align*} $$
よって、水素原子の最小エネルギーは
$$ E_{min}=-\frac{1}{2}mc^2\alpha ^2 $$
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