📂微分方程式

一階常微分方程式の初期値問題に対する解の存在性と一意性

定理¹

$E$が$\mathbb{R}^{n}$で開集合であり、$f \in C^{1} (E)$と$\phi_{0} \in E$に関する以下のような初期値問題が与えられたとする。

$$\begin{cases} \dot{ \phi } = \mathbf{f} ( \phi ) \\ \phi (0) = \phi_{0} \end{cases}$$

すると、ある区間$[-h,h] \subset \mathbb{R}$で与えられた初期値問題の解$\phi (t)$は一意に存在する。

---

• $C^{1}$は導関数が連続な関数の集合である。

証明

戦略：存在性を先に示した後に、一意性を示します。記法として、ユークリッド空間$\mathbb{R}^{n}$のボールを $$\begin{align*} B \left( \mathbf{x}_{0} ; d \right) :=& \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} : | \mathbf{x}_{0} - \mathbf{x} | < d \right\} \\ B \left[ \mathbf{x}_{0} ; d \right] :=& \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} : | \mathbf{x}_{0} - \mathbf{x} | \le d \right\} \end{align*}$$ と表示します。当然ながら、$f \in C^{1} (E)$の代わりにリプシッツ条件を使うことも問題ありません。

---

パート1. $f$は局所的にリプシッツである

局所的リプシッツ条件：$f \in C^{1}(E)$のとき、$f$は$E$で局所的リプシッツである。

$\dfrac{\partial f}{\partial y}$が連続と仮定されているので、定理により$f$は局所的リプシッツである。よって、局所的リプシッツの定義により、全ての$\mathbf{x} , \mathbf{y} \in B \left( \phi_{0} ; \varepsilon \right) \subset E$に対して、以下の式を満たす$\varepsilon, K > 0$が存在する。

$$\left| f(t,y_{1}) - f(t,y_{2}) \right| \le K \left| y_{1} - y_{2} \right|$$

連続性とコンパクトの関係：$X$をコンパクト距離空間、$Y$を距離空間、$f:X\to Y$が連続であるとする。すると、$f(X)$はコンパクトである。

$f$は連続であるので、コンパクトセット$B : = B \left[ \phi_{0} ; {{ \varepsilon } \over {2}} \right]$ではバウンデッドであり、$\displaystyle M : = \sup_{ \mathbf{x} \in B } | f ( \mathbf{x} ) |$を得ることができる。

---

パート2. ピカールの方法

$E$ が $\mathbb{R}^{n}$ でオープンであり、$f \in C^{1} (E)$についての初期値問題

$$\begin{cases} \dot{ \phi } = f ( \phi ) \\ \phi (0) = \phi_{0} \end{cases}$$ があるとする。関数の列 $\left\{ \mathbf{u}_{k} (t) \right\} _{ k =0}^{ \infty }$ を

$$\begin{cases} \mathbf{u}_{0} (t) = \phi_{0} \\ \displaystyle \mathbf{u}_{k+1} (t) = \phi_{0} + \int_{0}^{t} f \left( \mathbf{u}_{k} (s) \right) ds \end{cases}$$

のように定義すると、連続関数$\displaystyle \mathbf{u} (t) := \lim_{k \to \infty} \mathbf{u}_{k} (t)$は与えられた初期値問題の解である。

連続関数$\mathbf{u}_{k} (t)$が

$$\begin{cases} \mathbf{u}_{0} (t) = \phi_{0} \\ \displaystyle \mathbf{u}_{k+1} (t) = \phi_{0} + \int_{0}^{t} f \left( \mathbf{u}_{k} (s) \right) ds \end{cases}$$

と定義されたと仮定する。

$\mathbf{u}_{k}$と$f$は$[-h,h]$で連続なので、$( f \circ \mathbf{u}_{k} )$もまた連続である。

微積分学の基本定理：関数$f$が閉区間$[a,b]$で連続であれば、関数$\displaystyle F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$は$[a,b]$で連続であり、$(a,b)$で微分可能である。 $${{dF(x)} \over {dx}} = f(x)$$

それにより、微積分学の基本定理によって、$\displaystyle \mathbf{u}_{k+1} (t) = \phi_{0} + \int_{0}^{t} f \left( \mathbf{u}_{k} (s) \right) ds$もまた$[-h, h]$で連続である。少し整理して不等式を立てると、全ての$t \in [-h, h]$に対して、

$$\begin{align*} | \mathbf{u}_{k+1} (t) - \phi_{0} | \le & \int_{0}^{t} \left| f \left( \mathbf{u}_{k} (s) \right) \right| ds \\ \le & \int_{0}^{h} \left| f \left( \mathbf{u}_{k} (s) \right) \right| ds \\ \le & \int_{0}^{h} M ds \\ \le & Mh \end{align*}$$

つまり、$\displaystyle h \in \left( 0 , {{ \varepsilon } \over { 2M }} \right]$を選ぶことによって、$\mathbf{u}_{k} (t)$は全ての$t \in [-h,h]$と$k = 1,2,3 \cdots$において連続関数として定義することができる。

---

パート3. コーシー列 $\left\{ \mathbf{u}_{k} \right\}_{k=0}^{\infty}$

$t \in [-h , h ]$について$| \mathbb{ u }_{ j + 1 } - \mathbb{ u }_{ j } |$の上限を計算する。

• ケース1. $j = 1$
  $$\begin{align*} | \mathbb{ u }_{ 2 } ( t ) - \mathbb{ u }_{ 1 } ( t ) | \le & \int_{0}^{t} \left| f \left( \mathbf{u}_{1} (s) \right) - f \left( \mathbf{u}_{0} (s) \right) \right| ds \\ \le & K \int_{0}^{t} | \mathbb{ u }_{ 1 } ( s ) - \mathbb{ u }_{ 0 } ( s ) | ds \\ \le & K h \sup_{ t \in [ - h , h ] } | \mathbb{ u }_{ 1 } ( t ) - \phi_{ 0 } | \\ \le & {{ K h \varepsilon } \over { 2 }} \end{align*}$$
• ケース2. $j > 1$
  $$\begin{align*} | \mathbb{ u }_{ j+1 } ( t ) - \mathbb{ u }_{ j } ( t ) | \le & \int_{0}^{t} \left| f \left( \mathbf{u}_{ j } (s) \right) - f \left( \mathbf{u}_{ j - 1 } (s) \right) \right| ds \\ \le & K \int_{0}^{t} | \mathbb{ u }_{ j } ( s ) - \mathbb{ u }_{ j - 1 } ( s ) | ds \\ \le & K h \sup_{ t \in [ - h , h ] } | \mathbb{ u }_{ j } ( t ) - \mathbf{u}_{j-1} ( t ) \end{align*}$$

再帰的に解くと、**ケース1.**により

$$| \mathbb{ u }_{ j+1 } ( t ) - \mathbb{ u }_{ j } ( t ) | \le {{ (Kh)^{j} \varepsilon } \over {2}}$$

$m > k > N$と$\displaystyle h \in \left( 0 , {{1} \over { K }} \right)$とし、$c := K h$とすると、

$$\begin{align*} | \mathbb{ u }_{ m } ( t ) - \mathbb{ u }_{ k } ( t ) | \le & \sum_{j = k}^{m-1} | \mathbf{u}_{j+1} (t) - \mathbf{u}_{j} (t) | \\ \le & \sum_{j = N}^{ \infty } | \mathbf{u}_{j+1} (t) - \mathbf{u}_{j} (t) | \\ \le & \sum_{j = N}^{ \infty } {{ ( K h )^{ j } \varepsilon } \over {2}} = {{ c^{N} } \over { 1 - c}} {{ \varepsilon } \over {2}} \end{align*}$$

$|c| < 1$なので、$N \to \infty$のとき、$\displaystyle {{ c^{N} } \over { 1 - c}} {{ \varepsilon } \over {2}}$は$0$に収束する。つまり、全ての$\varepsilon > 0$に対して、

$$m , k \ge N \implies \| \mathbf{u}_{m} - \mathbf{u}_{k} \| = \sup_{ t \in [-h , h ] } | \mathbf{u}_{m} ( t ) - \mathbf{u}_{k} ( t ) | < \varepsilon$$

を満たす$N$が存在する。これは$\left\{ \mathbf{u}_{k} \right\}_{k=0}^{\infty}$が$C [ - h , h ]$のコーシー列であることを意味する。（もちろん、選択される$h$は$\displaystyle 0 < h < \min \left( {{b} \over {M}} , {{1} \over {K}} \right)$を満たさなければならない。）

---

パート4. バナッハ空間

$C [ -h , h ]$はバナッハ空間なので、$\displaystyle \mathbf{u} (t) := \lim_{k \to \infty} \mathbf{u}_{k} (t)$は連続関数である。$\mathbf{u}$が連続であるので、$( f \circ \mathbf{u} )$もまた連続であり、微積分学の基本定理によって

$$\dot{\mathbf{u} } (t) = \left( \phi_{0} + \int_{0}^{t} f \left( u(s) \right) ds \right)' = f \left( \mathbf{u} (t) \right)$$

また、$t = 0$ならば$\displaystyle \mathbf{u} (0) = \phi_{0} + \int_{0}^{0} f \left( u(s) \right) ds = \phi_{0} + 0 = \phi_{0}$従って、$\mathbf{u}$は全ての$t \in [ - h , h ]$に対して、与えられた初期値問題の解として存在する。

---

パート5. 一意性

$\mathbf{u}$と$\mathbf{v}$が与えられた初期値問題の解であるとする。$| \mathbf{u} (t) - \mathbf{v} (t) |$がいくつかの$t$に対して最大値を持つようにすると、それを$t_{0} \in [-h , h]$とする、

$$\begin{align*} \| \mathbf{u} - \mathbf{v} \| =& \sup_{t \in [-h,h ] } | \mathbf{u} (t) - \mathbf{v} (t) | \\ =& \left| \int_{0}^{t_{0} } \left[ f \left( \mathbf{u} (s) \right) - f \left( \mathbf{v} (s) \right) \right] ds \right| \\ \le & \int_{0}^{t_{0} } \left| f \left( \mathbf{u} (s) \right) - f \left( \mathbf{v} (s) \right) \right| ds \\ \le & K \int_{0}^{t_{0} } \left|\mathbf{u} (s) - \mathbf{v} (s) \right| ds \\ \le & K h \sup_{s \in [-h, h ] } \left| \mathbf{u} (s) - \mathbf{v} (s) \right| \\ \le & K h \| \mathbf{u} - \mathbf{v} \| \end{align*}$$

要するに、$\| \mathbf{u} - \mathbf{v} \| \le K h \| \mathbf{u} - \mathbf{v} \|$であり、$Kh < 1$があるため、$\| \mathbf{u} - \mathbf{v} \| = 0$でなければならない。従って、$[-h, h ]$で、$\| \mathbf{u} \| = \| \mathbf{v} \|$でなければならない。

■