ライプニッツの定理の証明
定理
$$ \dfrac{d}{dx} (fg)=\dfrac{df}{dx}g+f\dfrac{dg}{dx} $$
$$ \begin{align*} \dfrac{d^n}{dx^n}(fg)&=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{n!}{(n-k)!k!}\dfrac{d^{n-k}f}{dx^{n-k}}\dfrac{d^k g}{dx^k} \\ &=\sum \limits_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k} \dfrac{d^{n-k}f}{dx^{n-k}}\dfrac{d^k g}{dx^k} \\ &=\sum \limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \dfrac{d^{n-k}f}{dx^{n-k}}\dfrac{d^k g}{dx^k} \end{align*} $$
説明
ライプニッツの法則Leibniz’s ruleとしても知られている。
最初の式は、微分の積の法則、または積の規則としてよく知られた式だ。二つの関数の積を一度微分したときの結果を簡単に表したものだ。ここでさらに一般化して$n$回微分したときの結果を示すのが下の式だ。多項式は繰り返し微分されると$0$になる可能性があるため、直接$n$回微分せずに簡単に結果を計算できる。
これ以外にも、ライプニッツの名がついた微分と積分に関する定理や公式が多数ある。
証明
$D$を次のような微分演算子としよう。
$$ D=\dfrac{d}{dx} $$
例えば$Df(x)=\dfrac{df(x)}{dx}$だ。$D$を使って$fg$の微分を表すと、以下のようになる。
$$ \dfrac{d}{dx}(fg)=gDf+fDg $$
この時$D_{f}$を$f$にのみ適用される演算子とし、$D_{g}$を$g$にのみ適用される演算子としよう。すると、上の式は以下のように表される。
$$ (D_{f}+D_{g})(fg)=gDf+fDg $$
すると次を得る。
$$ \dfrac{d}{dx}(fg)=(D_{f}+D_{g})(fg) $$
$$ \dfrac{d^2}{dx^2}(fg)=D(D_{f}+D_{g})(fg) $$
この時$D$は微分演算子なので、操作の順序は関係ない。つまり$DD_{f}f=D_{f}Df$という意味だ。すると、上の式は以下のようになる。
$$ \begin{align*} \dfrac{d^2}{dx^2}(fg) &= D(D_{f}+D_{g})(fg) \\ &= (D_{f}+D_{g})D(fg) \\ &= (D_{f}+D_{g})(D_{f}+D_{g})(fg) \\ &= (D_{f}+D_{g})^2 (fg) \end{align*} $$
上で話したように、$D$は積の交換が成立するので、最後の行のように表現できる。微分回数を$n$回に拡張すると、次のようになる。
$$ \dfrac{d^n}{dx^n} (fg)=(D_{f}+D_{g})^n(fg) $$
交換法則が成立するので、二項定理を適用できる。二項定理を使うと、次を得る。
$$ \begin{align*} \dfrac{d^n}{dx^n} (fg) &= (D_{f}+D_{g})^n(fg) \\ &= \sum \limits_{k=0} ^n {}_{n}\mathrm{C} _{k} {D_{f}}^{n-k} {D_{g}}^{k}(fg) \\ &=\sum \limits_{k=0} ^n {}_{n}\mathrm{C} _{k} {D_{f}}^{n-k} f{D_{g}}^{k}g \\ &= \sum \limits_{k=0} ^n {}_{n}\mathrm{C} _{k} \dfrac{d^{n-k}f}{dx^{n-k}} \dfrac{d^k g}{dx^k} \\ &= \sum \limits_{k=0} ^n {}_{n}\mathrm{C} _{k} f^{(n-k)} g^{(k)} \end{align*} $$
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例
1
- $\dfrac{d^7}{dx^7}( x \sin x)$を求めよ。
$x$、$\sin x$をそれぞれ上の証明の$g$、$f$とすると、ライプニッツの法則により
$$ \dfrac{d^7}{dx^7}( x \sin x)=\sum \limits_{k=0} ^7 {}_{7} \mathrm{C}_{k} \dfrac{d ^{n-k} } {dx^{n-k} }(\sin x) \dfrac{d^k}{dx^k} (x) $$
この時$k \ge 2$の場合、$\dfrac{d^k}{dx^k}(x)=0$であるため、$k=0,1$の二項だけが残る。したがって、
$$ \begin{align*} \dfrac{d^7}{dx^7} ( x \sin x ) &= {}_{7} \mathrm{C} _{0} \dfrac{d^7}{dx^7}(\sin x) x + {}_{7}\mathrm{C}_{1} \dfrac{d^6}{dx^6} (\sin x) \\ &= -x \cos x -7\sin x \end{align*} $$
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2
- $\dfrac{d^{10}}{dx^{10}} ( x^2 e^{-x} )$を求めよ。
$x^2$、$e^{-x}$をそれぞれ上の証明の$g$、$f$とすると、ライプニッツの法則により
$$ \dfrac{d^{10}}{dx^{10}} (x^2 e^{-x}) = \sum \limits _{k=0} ^{10} {}_{10} \mathrm{C} _{k} \dfrac{d^{10-k}}{dx^{10-k}}(e^{-x}) \dfrac{d^k}{dx^k} ( x^2) $$
この時、$k \ge 3$の場合は$\dfrac{d^k}{dx^k} (x^2)=0$であるため、$k=0,1,2$の三項だけが残る。したがって、
$$ \begin{align*} \dfrac{d^{10} } {dx^{10} } (x^2 e^{-x}) &= {}_{10} \mathrm{C}_{0} \dfrac{d^{10}}{dx^{10}} (e^{-x}) x^2 + {}_{10} \mathrm{C} _{1} \dfrac{d^9}{dx^9}(e^{-x}) \dfrac{d}{dx}(x^2) + {}_{10}\mathrm{C}_2 \dfrac{d^8}{dx^8} ( e^{-x} ) \dfrac{d^2}{dx^2} (x^2) \\ &= x^2 e^{-x} -20 x e^{-x} + 90e^{-x} \end{align*} $$
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