ライプニッツの定理の証明
📂解析学ライプニッツの定理の証明
定理
dxd(fg)=dxdfg+fdxdg
dxndn(fg)=k=0∑n(n−k)!k!n!dxn−kdn−kfdxkdkg=k=0∑nnCkdxn−kdn−kfdxkdkg=k=0∑n(kn)dxn−kdn−kfdxkdkg
説明
ライプニッツの法則Leibniz’s ruleとしても知られている。
最初の式は、微分の積の法則、または積の規則としてよく知られた式だ。二つの関数の積を一度微分したときの結果を簡単に表したものだ。ここでさらに一般化してn回微分したときの結果を示すのが下の式だ。多項式は繰り返し微分されると0になる可能性があるため、直接n回微分せずに簡単に結果を計算できる。
これ以外にも、ライプニッツの名がついた微分と積分に関する定理や公式が多数ある。
証明
Dを次のような微分演算子としよう。
D=dxd
例えばDf(x)=dxdf(x)だ。Dを使ってfgの微分を表すと、以下のようになる。
dxd(fg)=gDf+fDg
この時Dfをfにのみ適用される演算子とし、Dgをgにのみ適用される演算子としよう。すると、上の式は以下のように表される。
(Df+Dg)(fg)=gDf+fDg
すると次を得る。
dxd(fg)=(Df+Dg)(fg)
dx2d2(fg)=D(Df+Dg)(fg)
この時Dは微分演算子なので、操作の順序は関係ない。つまりDDff=DfDfという意味だ。すると、上の式は以下のようになる。
dx2d2(fg)=D(Df+Dg)(fg)=(Df+Dg)D(fg)=(Df+Dg)(Df+Dg)(fg)=(Df+Dg)2(fg)
上で話したように、Dは積の交換が成立するので、最後の行のように表現できる。微分回数をn回に拡張すると、次のようになる。
dxndn(fg)=(Df+Dg)n(fg)
交換法則が成立するので、二項定理を適用できる。二項定理を使うと、次を得る。
dxndn(fg)=(Df+Dg)n(fg)=k=0∑nnCkDfn−kDgk(fg)=k=0∑nnCkDfn−kfDgkg=k=0∑nnCkdxn−kdn−kfdxkdkg=k=0∑nnCkf(n−k)g(k)
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例
1
- dx7d7(xsinx)を求めよ。
x、sinxをそれぞれ上の証明のg、fとすると、ライプニッツの法則により
dx7d7(xsinx)=k=0∑77Ckdxn−kdn−k(sinx)dxkdk(x)
この時k≥2の場合、dxkdk(x)=0であるため、k=0,1の二項だけが残る。したがって、
dx7d7(xsinx)=7C0dx7d7(sinx)x+7C1dx6d6(sinx)=−xcosx−7sinx
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2
- dx10d10(x2e−x)を求めよ。
x2、e−xをそれぞれ上の証明のg、fとすると、ライプニッツの法則により
dx10d10(x2e−x)=k=0∑1010Ckdx10−kd10−k(e−x)dxkdk(x2)
この時、k≥3の場合はdxkdk(x2)=0であるため、k=0,1,2の三項だけが残る。したがって、
dx10d10(x2e−x)=10C0dx10d10(e−x)x2+10C1dx9d9(e−x)dxd(x2)+10C2dx8d8(e−x)dx2d2(x2)=x2e−x−20xe−x+90e−x
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参照