置換を用いた非同次オイラー微分方程式の解法
📂微分方程式置換を用いた非同次オイラー微分方程式の解法
定義
以下のように与えられた微分方程式をオイラー微分方程式Euler differential equationと呼ぶ。
orora2x2dx2d2y+a1xdxdy+a0ya2x2y′′+a1xy′+a0yx2y′′+αxy′+βy=f(x)=f(x)=f(x)
説明
オイラー=コーシー方程式Euler-Cauchy equationとも呼ばれる。
f(x)=0の同次方程式の場合は比較的簡単に解ける。
上のような非同次方程式の場合、係数に独立変数が含まれているため、解くのは簡単ではない。係数が定数の微分方程式と比べるとずっと難しい。この記事ではオイラー方程式を簡単に解く方法として、代入を通じて解く方法を紹介する。キーポイントはxをezに代入することだ。x=ezと置くと、オイラー方程式は係数が定数の2階線形微分方程式になる。それから、2階非同次微分方程式の解き方を参照して簡単に解ける。
解答
ステップ 0.
x=ezと代入する。それから
lnx=z,x1=dxdz
ステップ 1.
xdxdy=xdzdydxdz=xdzdyx1=dzdy
⟹xdxdy=dzdy
最初の等号は連鎖律により成立する。
ステップ 2.
x2dx2d2y=x2dxd(dxdy)=x2dxd(x1dzdy)=−dzdy+xdxd(dzdy)=−dzdy+xdzd(dzdy)dxdz=−dzdy+xdz2d2yx1
⟹x2dx2d2y=dz2d2y−dzdy
2つ目の等号は ステップ 1. の結果により成立する。4つ目の等号は連鎖律により成立する。最後の等号は ステップ 0. の結果により成立する。
ステップ 3.
ステップ 1-2. の結果をオイラー方程式(eq1)に代入すると
a2(dz2d2y−dzdy)+a1dzdy+a0y=f(ez)
⟹a2dz2d2y+(a1−a2)dzdy+a0y=f(ez)
これで、2階非同次微分方程式の解法に従って解ける。
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