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ポテンシャルの性質 📂電磁気学

ポテンシャルの性質

電位の基準点1

電位の定義は次の通りだ。

V(r)≡−∫OrE⋅dl V(\mathbf{r} ) \equiv - \int _\mathcal{O} ^{\mathbf{r}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l}

したがって、基準点O\mathcal{O}によって、その値が変わる可能性がある。例えば、新しく基準点O′\mathcal{O}^{\prime}を設定すると、ある定数KKの差が生じる。

V′(r)= −∫O′rE⋅dl= −∫O′OE⋅dl−∫OrE⋅dl= K+V(r) \begin{align*} V^{\prime} (\mathbf{r} ) =&\ -\int _{\mathcal{O}^{\prime}}^\mathbf{r} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} \\ =&\ -\int _{\mathcal{O}^{\prime}} ^\mathcal{O} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} -\int_\mathcal{O} ^\mathbf{r} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l} \\ =&\ K + V( \mathbf{r} ) \end{align*}

KKは、電場E\mathbf{E}をO\mathcal{O}からO′\mathcal{O}^{\prime}まで線積分した値である。ここで重要なのは、基準点によって電位VVの値は変わるかもしれないが、電場E\mathbf{E}の値は変わらないということだ。

定数の微分は00であるため、

∇V′=∇(K+V)=∇K+∇V=∇V \nabla V^{\prime} = \nabla (K+V)=\nabla K + \nabla V = \nabla V

したがって、

∇V′=∇V=E \nabla V^{\prime} =\nabla V =\mathbf{E}

基準点をどこに設定しても電場には影響しないため、電位を扱う際に非常に大きな利点となる。重要なのは、電位自体ではなく、二点間の電位差である。電位差もまた、基準点の設定方法とは無関係であることが示される。

V′(b)−V′(a)=[K+V(b)]−[K+V(a)]=V(b)−V(a) V^{\prime}( \mathbf{b} ) -V^{\prime}( \mathbf{a} ) = \left[ K + V( \mathbf{b} ) \right] - \left[ K +V( \mathbf{a} ) \right]= V(\mathbf{b}) - V( \mathbf{a})

重ね合わせの原理

電場と同様に、電位も重ね合わせの原理に従う。全体の電位は、各々のソース電荷が作る電位を単純に加算するだけでよいということだ。V=V1+V2+V3+⋯V=V_{1}+V_2+V_{3}+\cdotsであり、Ei=−∇Vi\mathbf{E}_{i}=-\nabla V_{i}であるとしたら、

E= E1+E2+E3+⋯= −∇V1−∇V2−∇V3−⋯= −∇(V1+V2+V3+⋯ )= −∇V \begin{align*} \mathbf{E} =&\ \mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_2+\mathbf{E}_{3}+\cdots \\ =&\ -\nabla V_{1} -\nabla V_2 -\nabla V_{3} -\cdots \\ =&\ -\nabla (V_{1}+V_2+V_{3}+\cdots) \\ =&\ -\nabla V \end{align*}

  1. David J. Griffiths, 基礎電磁気学(Introduction to Electrodynamics, 金振成訳) (第4版, 2014), p88-90 ↩︎