📂抽象代数

抽象代数学におけるベクトル空間

定義 ¹

体 $F$ と アーベル群 $V$ のすべての $\alpha , \beta \in F$ と $x, y \in V$ が次の条件を満たすとき、$V$ を $F$ 上の ベクトル空間^{vector space}と言う。$F$ の要素を スカラー^scalar、$V$ の要素を ベクトル^vectorと言う。

• (i): $\alpha x \in V$
• (ii): $\alpha ( \beta x) = ( \alpha \beta ) x$
• (iii): $\left( \alpha + \beta \right) x = \alpha x + \beta x$
• (iv): $\alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y$
• (v): $1 x = x$

添字集合 $I$ について、$V$ のある 部分集合 $M \subset V$ を $M := \left\{ x_{i} \right\}_{i \in I}$ とする。

1. ある $\left\{ \alpha_{i} \right\}_{ i \in I} \subset F$ について $\displaystyle \sum_{i \in I} \alpha_{i} x_{i}$ を $\left\{ x_{i} \right\}_{i \in I}$ の 線形結合^{linear combination}と言う。
2. すべての $\left\{ x_{i} \right\}_{i \in I}$ について $\displaystyle \sum_{i \in I} \alpha_{i} x_{i} = 0$ を満たす場合が $\alpha_{i} = 0 , \forall i \in I$ だけであるとき、$\left\{ x_{i} \right\}_{i \in I}$ は $F$ 上で線形独立^{linearly independent of $F$}と言う。それ以外の場合は 線形従属^{linearly dependent}と言う。
3. $V$ のすべての要素が $M$ の線形結合として表せる場合、$M$ が $V$ を 生成する^spanと言い、以下のように表す $\text{span} M = V$。
4. $\text{span} M = V$ のとき、$M$ が線形独立ならば、$M$ を $F$ 上で $V$ の基底^{basis for $V$ over $F$}と言う。
5. 有限集合 $I$ について、$\text{span} M = V$ を満たす $M$ が存在する場合、$V$ は 有限次元^{finite dimensional}と言う。
6. 有限次元ベクトル空間 $V$ の基底を $M$ とするとき、$M$ の 基数 を $F$ 上で $V$ の次元^{dimension of $V$ over $F$}と言い、以下のように表す $\dim V$。

説明

通常は線形代数ですでに親しんでいる概念であり、「代数」という名前が付いた抽象代数学でも説明できないことはない。簡単な例として 多項式の環 $\mathbb{R} [ x ]$ は、$1 , x , \cdots , x^{n}$ を基底とするベクトル空間となることが簡単に確認できる。

閲覧

• 線形代数学におけるベクトル空間
• 抽象代数学におけるベクトル空間

以下の文書で述べられている $F$-ベクトルスペースは、実際には特に上記の文書のベクトル空間と違いはない。ただ視点が少し異なる。線形代数学におけるベクトル空間が直感的な ユークリッド空間 の抽象化であり、抽象代数学におけるベクトル空間がそれを真の意味で「代数」にすることだと考えられる。

逆に言えば、$R$-モジュールは $F$-ベクトルスペースの スカラーフィールド $F$ を スカラー環 $R$ として一般化する意味があり、それゆえ $F$-ベクトルスペースの歴史や意味に無関心なネーミングでその正体を示している。群 $G$ の観点から見ると、環 $R$ と新しい演算 $\mu$ が追加^添加されたものであり、その漢語訳も 加群^加群である。

• 抽象代数学における $R$-モジュール
• 抽象代数学における $F$-ベクトルスペース