ベクトル空間のリフレクシブ
定義 1
$X$をベクトル空間、$X^{\ast \ast}$をバイデュアルとする。$X^{\ast \ast} \approx X$ならば、$X$はリフレクシブreflexiveと言われる。
説明
一般に、ベクトル空間はデュアルを取るたびにサイズが大きくなる。しかし、リフレクシブであることは事実上、デュアルスペースが無限に大きくならない空間と見なすことができる。リフレクシブな空間の例は以下の通り。
- $1 < p < \infty$の場合${\ell^{p}}^{\ast \ast} \approx \ell^{p}$
- $\dim X = n$ならば$X^{\ast \ast} \approx X$
- $H$がヒルベルト空間ならば$H^{\ast \ast} \approx H$
$\ell^{p}$空間に関する証明を紹介する。
証明
戦略：この証明のためだけに使われる関数$\operatorname{sign} : \mathbb{C} \to \mathbb{R}$を定義しよう。 $$ \operatorname{sign} ( \lambda ) := \begin{cases} \displaystyle {{| \lambda | } \over { \lambda }} &, \lambda \ne 0 \\ 1 &, \lambda = 0 \end{cases} $$ 定義により、$\lambda \operatorname{sign} (\lambda) = | \lambda |$である。これは広く使用されている複素数の符号$\operatorname{sign}$の定義と少し異なることに注意。
まず、$\displaystyle {{1} \over {p}} + {{1} \over {q}} = 1$に対して${\ell^{p}}^{ \ast } \approx \ell^{q}$であることを示す。写像$\phi : {\ell^{p}}^{ \ast } \to \ell^{q}$を$f \in {\ell^{p}}^{ \ast }$に対して$\phi (f) = \left( f(e_{1}) , f(e_{2}) , \dots \right)$と定義しよう。ここで$e_{j}$は$j$番目の成分だけが$1$で他は$0$の単位ベクトル$e_{j}:=(\dots ,0, 1 , 0 , \dots )$を意味する。
いま、$\displaystyle y_{j} : = {{ \operatorname{sign} \left( f^q (e_{j} ) \right) f^{q-1} (e_{j} ) } \over { \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f (e_{j} ) \right|^{q} \right)^{{{1} \over {p}}} }} \in \mathbb{C}$を含む$\displaystyle y_{j} : = {{ \operatorname{sign} \left( f^q (e_{j} ) \right) f^{q-1} (e_{j} ) } \over { \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f (e_{j} ) \right|^{q} \right)^{{{1} \over {p}}} }} \in \mathbb{C}$を定義しよう。全ての$\lambda \in \mathbb{C}$に対して$|\lambda| = 1$なので、
$$ \| y_{1} e_{1} + \dots + y_{n} e_{n} \|_{p}^{p} = \sum_{j=1}^{n} |y_{j}|^{p} = \sum_{j=1}^{n} {{ 1 \cdot \left| f (e_{j} ) \right|^{(q-1)p} } \over { \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f (e_{j} ) \right|^{q} \right) }} $$
$(q-1)p = q$だから、
$$ \| y_{1} e_{1} + \dots + y_{n} e_{n} \|_{p}^{p} = 1 $$
$f \in \ell_{p}^{ \ast }$は線形だから、
$$ \begin{align*} & f( y_{1} e_{1} + \dots + y_{n} e_{n} ) \\ =& y_{1} f( e_{1} ) + \dots + y_{n} f(e_{n}) \\ =& {{ 1 } \over { \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f (e_{j} ) \right|^{q} \right)^{{{1} \over {p}}} }} \left( \operatorname{sign} \left( f^q (e_{1} ) \right) f^{q-1} (e_{1} ) f(e_{1}) + \dots +\operatorname{sign} \left( f^q (e_{n} ) \right) f^{q-1} (e_{n} ) f(e_{n}) \right) \\ =& {{ 1 } \over { \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f (e_{j} ) \right|^{q} \right)^{{{1} \over {p}}} }} \left( \operatorname{sign} \left( f^q (e_{1} ) \right) f^{q} (e_{1} )+ \dots +\operatorname{sign} \left( f^q (e_{n} ) \right) f^{q} (e_{n} ) \right) \end{align*} $$
$$\lambda \operatorname{sign} (\lambda) = | \lambda |$$
$\operatorname{sign}$の性質により、
$$ \begin{align*} f( y_{1} e_{1} + \dots + y_{n} e_{n} ) =& {{ 1 } \over { \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f (e_{j} ) \right|^{q} \right)^{{{1} \over {p}}} }} \left( \left| f (e_{1}) \right|^{q} + \dots + \left| f (e_{n}) \right|^{q} \right) \\ =& \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f(e_{j} ) \right|^{q} \right)^{1- {{1} \over {p}} } \\ =& \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f(e_{j} ) \right|^{q} \right)^{ {{1} \over {q}} } \end{align*} $$
パート1. $\displaystyle \left| \left( \sum_{j=1}^{\infty} \left| f(e_{j} ) \right|^{q} \right)^{ {{1} \over {q}} } \right| \le \| f \|$
$f$は有界だから、全ての$n \in \mathbb{N}$に対して
$$ \left| \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f(e_{j} ) \right|^{q} \right)^{ {{1} \over {q}} } \right| \le \| f \| \| y_{1} e_{1} + \dots + y_{n} e_ {n} \|_{p} $$
$\displaystyle \| y_{1} e_{1} + \dots + y_{n} e_{n} \|_{p}^{p} = 1$から、まとめると
$$ \left| \left( \sum_{j=1}^{\infty} \left| f(e_{j} ) \right|^{q} \right)^{ {{1} \over {q}} } \right| \le \| f \| $$
パート2. $\phi$は関数だ。
**パート1.**から$\displaystyle \left| \phi (f) \right| = \left| \left( \sum_{j=1}^{\infty} \left| f(e_{j} ) \right|^{q} \right)^{ {{1} \over {q}} } \right| \le \| f \| < \infty$だから$\phi ( f ) \in \ell^{q}$
パート3. $\phi$は線形だ。
$f , g \in {\ell^{p}}^{ \ast }$と$\lambda \in \mathbb{C}$に対して
$$ \begin{align*} \phi ( \lambda f + g ) =& \left( ( \lambda f + g ) e_{1} , \dots \right) \\ =& \left( \lambda f (e_{1}) + g (e_{1}) , \dots \right) \\ =&\left( \lambda f (e_{1}) , \dots \right) + \left( g (e_{1}) , \dots \right) \\ =& \lambda \phi (f) + \phi (g) \end{align*} $$
パート4. $\phi$は単射だ。
$f , g \in {\ell^{p}}^{ \ast }$について$\phi (f) = \phi (g)$とすると、全ての$j \in \mathbb{N}$に対して$f(e_{j} ) = g( e_{j} )$が必要。$( x_{j} ) \in \ell^{q}$とすれば
$$ f \left( ( x_{j} ) \right) = f \left( \lim_{n \to \infty} \left( x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n} \right) \right) $$
$\phi$は線形だから連続であり
$$ \begin{align*} f \left( \lim_{n \to \infty} \left( x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n} \right) \right) =& \lim_{n \to \infty} f \left( x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n} \right) \\ =& \lim_{n \to \infty} \left( x_{1} f (e_{1} ) + \dots + x_{n} f(e_{n}) \right) \\ =& \lim_{n \to \infty} \left( x_{1} g (e_{1} ) + \dots + x_{n} g (e_{n}) \right) \\ =& \lim_{n \to \infty} g \left( x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n} \right) \\ =& g \left( \lim_{n \to \infty} \left( x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n} \right) \right) \\ =& g \left( ( x_{j} ) \right) \end{align*} $$
まとめると
$$ \phi (f) = \phi (g) \implies f = g $$
パート5. $\phi$は全射だ。
任意の$( \lambda_{j} ) \in \ell^{q}$に対して、$\phi ( f_{0} ) = ( \lambda_{j} )$を満たす$f_{0} \in {\ell^{p}}^{ \ast }$が存在することを示せばいい。関数$f_{0} : \ell^{p} \to \mathbb{C}$を$\displaystyle f_{0} \left( (x_{j} ) \right) : = \sum_{j=1}^{\infty} x_{j} \lambda_{j}$として定義しよう。そうすると、$( x_{j} ) , ( y_{j} ) \in \ell^{p}$に対して
$$ \begin{align*} f_{0} \left( \lambda ( x_{j} ) + ( y_{j} ) \right) =& f_{0} \left( ( \lambda x_{j} + y_{j} ) \right) \\ =& \sum_{j=1}^{\infty} ( \lambda x_{j} + y_{j} ) \lambda_{j} \\ =& \lambda \sum_{j=1}^{\infty} x_{j} \lambda_{j} + \sum_{j=1}^{\infty} y_{j} \lambda_{j} \\ =& \lambda f \left( (x_{j} ) \right) + f \left( (y_{j} ) \right) \end{align*} $$
これにより、$f_{0}$は線形だ。また、ヘルダーの不等式により
$$ \| f_{0} \| = \sup_{ \| (x_{j}) \|_{p } = 1 } \left| \sum_{j=1}^{\infty} x_{j} \lambda_{j} \right| \le \sup_{ \| (x_{j}) \|_{p } = 1 } \left( \sum_{j=1}^{\infty} | x_{j} |^{p} \right)^{{1} \over {p}} \left( \sum_{j=1}^{\infty} | \lambda_{j} |^{q} \right)^{{1} \over {q}} < \infty $$
これにより、$f_{0}$は有界で、結論として$f_{0} \in {\ell^{p}}^{ \ast }$である。この$f_{0}$は
$$ \phi (f_{0} ) = \left( f_{0} (e_{1}) , f_{0} (e_{2}) , \dots \right) = \left( \sum_{j=1}^{\infty} e_{1} \lambda_{j} , \sum_{j=1}^{\infty} e_{2} \lambda_{j} , \dots \right) = (\lambda_{1} , \lambda_{2} , \dots ) = (\lambda_{j}) $$
を満たす。
パート6. $\phi$はノルムを保つ。
$\| \phi (f) \|_{q} = \| f \|$であることを示せばいい。
$$ \begin{align*} \| f \| =& \sup_{ \| (x_{j}) \|_{p } = 1 } \left| f((x_{j} )) \right| \\ =& \sup_{ \| (x_{j}) \|_{p } = 1 } \left| \sum_{j=1}^{\infty} (x_{j} ) f(e_{j} ) \right| \\ \le & \sup_{ \| (x_{j}) \|_{p } = 1 } \sum_{j=1}^{\infty} | (x_{j} ) | | f(e_{j} ) | \le \sup_{ \| (x_{j}) \|_{p } = 1 } \left( \sum_{j=1}^{\infty} | x_{j} |^{p} \right)^{{1} \over {p}} \left( \sum_{j=1}^{\infty} | f ( e_{j} ) |^{q} \right)^{{1} \over {q}} \\ =& \left( \sum_{j=1}^{\infty} | f ( e_{j} ) |^{q} \right)^{{1} \over {q}} \\ =& \| \phi (f) \|_{q} \end{align*} $$
しかし、**パート1.**で$\displaystyle \left| \left( \sum_{j=1}^{\infty} \left| f(e_{j} ) \right|^{q} \right)^{ {{1} \over {q}} } \right| \le \| f \|$だったので
$$ \| f \| \le \| \phi (f) \|_{q} \le \| f \| $$
まとめると
$$ \| \phi (f) \|_{q} = \| f \| $$
**パート2.からパート6.**までをまとめると、$\phi$は等長写像であることがわかる。つまり、$\displaystyle {{1} \over {p}} + {{1} \over {q}} = 1$に対して${\ell^{p}}^{ \ast } \approx \ell^{q}$を示した。
パート7.
${\ell^{p}}^{ \ast } \approx \ell^{q}$とすると、${\ell^{p}}^{\ast \ast} \approx {\ell^{q}}^{ \ast }$である。等長写像は同値関係であり、同値関係の推移性により$$ \ell_{p}^{\ast \ast} \approx \ell_{p} $$
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Kreyszig. (1989). Introductory Functional Analysis with Applications: p107. ↩︎