📂微分方程式

三角関数のラプラス変換

公式¹

サインとコサインのラプラス変換は以下の通りだ。

$$\mathcal{L} \left\{ \sin (at) \right\} = \dfrac{a}{s^2+a^2},\quad s>0$$

$$\mathcal{L} \left\{ \cos (at) \right\} = \dfrac{s}{s^2+a^2},\quad s>0$$

導出

$\sin (at)$

$$\begin{align*} \mathcal{L} \left\{ \sin (at) \right\}& =\displaystyle \int_{0}^\infty e^{-st}\sin(at)dt \\ &= \lim \limits_{A \to \infty} \left[-\dfrac{1}{a}e^{-st}\cos (at) \right]_{0}^A+ \lim \limits_{A \to \infty} \int _{0}^\infty -\dfrac{s}{a}e^{-st} \cos (at)dt \\ &= \dfrac{1}{a} - \lim \limits_{A \to \infty} \dfrac{s}{a} \left[ \dfrac{1}{a} \left[ e^{-st}\sin (at) \right]_{0}^A + \dfrac{s}{a}\int _{0}^A e^{-st} \sin (at) dt \right] \\ &=\dfrac{1}{a} - \dfrac{s^2}{a^2} \int_{0}^\infty e^{-st} \sin (at) dt \end{align*}$$

ここで$\mathcal{L} \left\{ \sin (at) \right\} = \displaystyle \int_{0}^\infty e^{-st} \sin (at) dt$が成り立つので、

$$\begin{align*} \implies& &\dfrac{a^2+s^2}{a^2} \int _{0}^\infty e^{-st} \sin (at) dt &= \dfrac{1}{a} \\ \implies& &\int_{0}^\infty e^{-st} \sin (at)dt &=\dfrac{a}{s^2+a^2} \end{align*}$$

ただし、$\lim \limits_{A \to \infty} e^{-sA}\sin (aA)=0$を満たさなければならないので $s>0$

■

$\cos (at)$

$\sin$の結果を利用すると、$\cos$のラプラス変換はもっと簡単で短く求められる。

$$\begin{align*} \mathcal{ L } \left\{ \cos (at) \right\} &=\int _{0}^\infty e^{-st} \cos (at) dt \\ &= \lim \limits_{A \to \infty} \dfrac{1}{a} \left[ e^{-st} \sin (at) \right]_{0}^A + \dfrac{s}{a} \int_{0}^\infty e^{-st} \sin (at) dt \\ &= \dfrac{s}{a} \dfrac{a}{s^2+a^2} \\ &=\dfrac{s}{s^2+a^2} \end{align*}$$

ただし、$s>0$

■

参照

• ラプラス変換表