数列空間（ℓp 空間）
定義 1
$1 \le p < \infty$に対して、距離空間$( \ell^{p} , d^{p} )$は次のように定義される。
(i) 収束する数列の集合:
$$ \ell^{p} := \left\{ \left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C} \left| \left( \sum_{i=1}^{\infty} | x_{i} |^{p} \right)^{{1} \over {p}} < \infty \right. \right\} $$
(ii) 距離関数:
$$ d^{p} ( x_{n} , y_{n} ) := \left( \sum_{i = 1}^{\infty} | x_{i} - y_{i} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} },\quad \left\{ x_{n} \right\} , \left\{ y_{n} \right\} \in \ell^{p} $$
$p = \infty$に対して、距離空間$( \ell^{\infty} , d^{\infty} )$は次のように定義される。
(i)' 有界数列の集合:
$$ \ell^{\infty} := \left\{ \left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \ \left| \ \sup_{i \in \mathbb{N}} | x_{i} | < \infty \right. \right\} $$
(ii)' 距離関数:
$$d^{\infty} ( x_{n} , y_{n} ) := \sup_{i \in \mathbb{N}} | x_{i} - y_{i} |,\quad \left\{ x_{n} \right\} , \left\{ y_{n} \right\} \in \ell^{\infty} $$
説明
$\ell^{p}$は数列空間sequence spaceと呼ばれ、$\ell^{p}$は[エルピー]と読む。$\ell$のTeXコードは\ellだ。
$\ell^{p}$空間が$L^{p}$空間と異なる点は、数列か関数か、級数か積分か、という点だけだ。ヤングの不等式、コーシー・シュワルツの不等式、ヘルダーの不等式、ミンコフスキーの不等式や完全性も同様だ。事実が似ているので、証明方法もほとんど同じであるため、一方を十分に学んだなら、もう一方をわざわざする必要はない。
一方で$\ell^{\infty}$は、実際には$p \to \infty$のときと同じで、証明可能であるため、別に定義する必要はない。$\ell^{p}$や$\ell^{\infty}$のほとんどの性質を見ると、ほぼ同じであり、別に考える必要はない。
ただし、典型的な例外として可分性がある。
定理 1
$1 \le p_{0} < \infty$とする。
- (a): $\ell^{p_{0}}$は可分空間である。
- (b): $\ell^{\infty}$は不可分空間である。
この差は$\ell^{p_{0}}$が収束性を条件としているのに対し、$\ell^{\infty}$が有界性のみを条件としているために生じる。
証明
(a)
ストラテジー: 収束する数列は、$\displaystyle \left| \sum_{i = i_{0}}^{\infty} a_{i} \right|$を十分小さくする$i_{0}$を常に選択できる。この$i_{0}$を基準に有限部分と無限部分に分けた後、有限数列が必ず収束点になることを利用して、$l^{p_{0}}$が可分空間になるような部分集合を具体的に見つけ出す。
主張: $\overline{M} = \ell^{p_{0}}$を満たす可算集合$M \subset \ell^{p_{0}}$が存在する。
特定の$j_{0}$からはすべて$0$のみが繰り返される複素数列の集合
$$ M : = \left\{ \left\{ m_{j} \right\} \in \ell^{p_{0}} \ | \ m_{j} \in \mathbb{Q} + i \mathbb{Q} , m_{j} = 0 , \ j>j_{0} , \ j_{0} \in \mathbb{N} \right\} $$
を考えれば、$M$は可算集合であり、$\overline{M} \subset \ell^{p_{0}}$は当然成立するので、$\ell^{p_{0}} \subset \overline{M}$を示せば十分だ。$l^{p_{0}}$の定義により、すべての数列$x : = ( x_{1} , x_{2} , \cdots ) \in \ell^{p_{0}}$は任意の$\varepsilon > 0$に対して
$$ \left( \sum_{j > N} | x_{j} |^{p_{0}} \right)^{ {{1} \over {p_{0}}} } < {{ \varepsilon } \over {2}} $$
を満たす$N \in \mathbb{N}$が存在しなければならない。すると、各々の$x$に対して
$$ \left( |x_{1} - m_{1}|^{p_{0}} + \cdots + |x_{N} - m_{N}|^{p_{0}} \right)^{ {{1} \over {p_{0}}} } < {{\varepsilon} \over {2}} $$
を満たす$m : = (m_{1} , m_{2} , \dots , m_{N} , 0, \dots ) \in M$も存在するので
$$ d^{p_{0}} ( x, m) = \left( \sum_{j \le N} |x_{j} - m_{j}|^{p_{0}} + \sum_{j > N} |x_{j}|^{p_{0}} \right)^{{1} \over {p_{0}}} < {{ \varepsilon} \over {2}} + {{ \varepsilon} \over {2}} = \varepsilon $$
すべての$\varepsilon >0$に対して$B^{d^{p_{0}}} (x ; \varepsilon ) \cap M \ne \emptyset$なので$x \in \overline{M}$
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(b)
ストラテジー: 扱いやすい有界関数$e_{I} \in \ell^{\infty}$とこれらに関する関数$\psi$を定義し、それらの単射性を利用して基数を計算する。
主張 : $\overline{M} = \ell^{\infty}$を満たす可算集合$M \subset \ell^{p_{0}}$が存在しない。
$\overline{ M} = \ell^{\infty}$を満たすすべての$M \subset \ell^{\infty}$が非可算であることを示せば十分だ。
パート1.
定義域$I \subset \mathbb{N}$を持つ関数$e_{I} : I \to \left\{ 0, 1 \right\}$を
$$ e_{I} (j) := \begin{cases} 1 & , j \in I \\ 0 & , j \in ( \mathbb{N} \setminus I ) \end{cases} $$
として定義しよう。例えば$I = 2 \mathbb{N} = \left\{ 2, 4, 6 , \cdots \right\} $の場合、関数値は$e_{2 \mathbb{N}} (1) = 0$、$e_{2 \mathbb{N}} (2) = 1$、$e_{2 \mathbb{N}} (3) = 0$、$e_{2 \mathbb{N}} (4) = 1 $となる。
この関数たちの集合$A: = \left\{ e_{I} \ | \ I \subset \mathbb{N} \right\}$を考えると、関数値が$[0,1]$を超えることがないので、$A \subset \ell^{\infty}$が成り立つ。
パート2.
関数$\phi : \mathscr{P} ( \mathbb{N} ) \to A$を$\phi (I) : =e_{I}$として定義しよう。すると、$I , I’ \subset \mathbb{N}$が$I \ne i '$ならば$\phi (I) = e_{I} \ne e_{I’} = \phi (I’)$であるため、$\phi$は単射であり、したがって
$$ |A| \ge | \mathscr{P} ( \mathbb{ N} ) | = 2^{\aleph_{0}} = \aleph_{1} $$
任意の$x \in \ell^{\infty} = \overline{M}$と$\varepsilon >0$に対して$B_{d^{\infty}} (x ; \varepsilon ) \cap M \ne \emptyset$なので
$$ B_{d^{\infty}} \left( e_{I} ; {{1} \over {3}} \right) \cap M \ne \emptyset $$
パート3.
$\displaystyle B_{d^{\infty}} \left( e_{I} ; {{1} \over {3}} \right) \cap M \ne \emptyset$であるため
$$ \psi ( e_{I} ) \in \left( B_{d^{\infty}} \left[ e_{I} ; {{1} \over {3}} \right] \cap M \right) $$
が成立するような関数$\psi : A \to M$を定義できる。$\psi$が単射でないと仮定してみると、$\psi ( e_{I}) = \psi ( e_{I’ })$に対して
$$ \psi ( e_{I}) = \psi ( e_{I’ }) \in \left[ B_{d^{\infty}} \left( e_{I} ; {{1} \over {3}} \right) \cap B_{d^{\infty}} \left( e_{I’} ; {{1} \over {3}} \right) \right] $$
三角不等式により
$$ 1 = d^{\infty} ( e_{I} , e_{I’} ) \le d^{\infty} ( e_{I} , \psi (e_{I}) ) + d^{\infty} ( \psi (e_{I}) , e_{I’} ) \le {{1} \over {3}} + {{1} \over {3}} = {{2} \over {3}} $$
まとめると$\displaystyle 1 \le {{2} \over {3}}$であり、これは矛盾なので、$\psi$は単射である。また$\psi : A \to M$が単射であるため、$|M| \ge |A| = \aleph_{1}$であり$M$は可算集合であることができない。
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