正定値行列とその実数乗
定義
正定行列である行列 $A \ge 0$ と実数 $t \in \mathbb{R}$ に対して、$A$ の**$t$乗数**$t$-powerを次のように定義する。 $$ A^{t} := \exp \left( t \log A \right) $$ ここで、$\exp$ と $\log$ はそれぞれ行列指数関数と行列対数関数である。
説明
一般に、行列の乗数 $A^{t}$ は自然数 $t \in \mathbb{N}$ に対して、行列の積を $t$ 回取ることで定義され、$A$ が可逆行列である場合には逆行列 $A^{-1}$ が存在し、整数 $t \in \mathbb{Z}$ に対して一般化できる。
さらに、$A$ が正定行列である場合、その行列対数 $\log A$ が存在し、すべての固有値が正であるため、$A^{t}$ を実数 $t$ に対して自然に一般化できる。すべての固有値が正であることと $A^{t}$ の存在性がどのような関係にあるかは、以下の定理の証明過程で容易に納得できるだろう。
定理
正定行列 $A$ と実数 $t$ に対して、$A^{t}$ が一意に存在する。
証明
エルミート行列の空間と正定行列の凸集合をそれぞれ $\mathbb{H}_{n}$ と $\mathbb{P}_{n}$ と表すようにする。$t$ が実数と仮定されるため、証明過程で軽率に $e^{t E} = e^{t} e^{E}$ のような操作を使用できないことに注意。
補助定理1: 行列指数関数のユニタリ対角化
スペクトル理論: $A$ がエルミート行列であることとユニタリ対角化可能であることは同値である: $$ A = A^{\ast} \iff A = Q \Lambda Q^{\ast} $$
エルミート行列 $X \in \mathbb{H}_{n}$ はスペクトル理論によって $X = Q D Q^{\ast}$ で対角化できる。このとき、$Q$ はユニタリ行列であり、$D$ は$A$ の固有値からなる対角行列である。したがって、次が成り立つ。 $$ \begin{align*} \exp X =& e^{X} \\ =& \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} X^{k} \\ =& \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} Q D^{k} Q^{\ast} \\ =& Q \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} D^{k} \right] Q^{\ast} \\ =& Q e^{D} Q^{\ast} \end{align*} $$
補助定理2: 行列と行列指数関数の固有値
$X = Q D Q^{\ast}$ の固有値を $d_{1} , \cdots , d_{n}$ と表すと、つまり $\exp X = Q e^{D} Q^{\ast}$ において $D = \diag \left( d_{1} , \cdots , d_{n} \right)$ とすると、次が成り立つ。 $$ \begin{align*} e^{X} =& Q \sum_{k=0}^{\infty} {\frac{ 1 }{ k! }} \begin{bmatrix} d_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & d_{n} \end{bmatrix}^{k} Q^{\ast} \\ =& Q \begin{bmatrix} \sum_{k} d_{1}^{k} / k! & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \sum_{k} d_{n}^{k} / k! \end{bmatrix} Q^{\ast} \\ =& Q \begin{bmatrix} e^{d_{1}} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & e^{d_{n}} \end{bmatrix} Q^{\ast} \end{align*} $$ 以下の必要十分条件も同様の方法で導出できる。 $$ X = Q \begin{bmatrix} d_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & d_{n} \end{bmatrix} Q^{\ast} \iff e^{X} = Q \begin{bmatrix} e^{d_{1}} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & e^{d_{n}} \end{bmatrix} Q^{\ast} $$
具体的な形式
正定行列 $A$ に行列対数 $\log : \mathbb{P}_{n} \to \mathbb{H}_{n}$ を取った $\log A$ はエルミート行列であるため、同様に $$ t \cdot \log A = t \cdot U E U^{\ast} = U \left[ t E \right] U^{\ast} $$ というユニタリ対角化が可能である。$\lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n}$ を$A$ の固有値とすれば、ここで $E$ はそれぞれの固有値に対数を取り、対角行列とした $\diag \left( \log \lambda_{1}, \cdots, \log \lambda_{n} \right)$ であり、具体的な $A^{t}$ の形を確認できる。 $$ \begin{align*} A^{t} =& \exp \left( t \log A \right) \\ =& U e^{t E} U^{\ast} & \because \text{Lemma 1} \\ =& U \begin{bmatrix} e^{t \log \lambda_{1}} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & e^{t \log \lambda_{n}} \end{bmatrix} U^{\ast} & \because \text{Lemma 2} \\ =& U \begin{bmatrix} \lambda_{1}^{t} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{n}^{t} \end{bmatrix} U^{\ast} \end{align*} $$
証明過程では、$A^{t}$ の存在性はスペクトル理論と行列対数が全単射であることを通して確認でき、対角行列が正の乗数できれいに表されるため、他の$A^{t}$ が存在する余地がないことが確認できる。例として、正定行列$A$ の平方根行列 $\sqrt{A}$ は一意に存在するだろう。
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