📂位相幾何学

商空間

定義 ¹

位相空間 $(X, \mathscr{T} )$ と 同値関係 $\sim$ についての 同値類を $[x] = \left\{ y \in X \ | \ x \sim y \right\}$ としよう。

1. $X / \sim$ を商集合と定義する。
2. $q : X \to X / \sim$ を $q(x) = [ x ]$ と定義すれば、商関数と呼ぶ。
3. $U \in \mathscr{T}$ に対して、 $$q^{-1} (U) = \bigcup_{[ x ] \in U} [ x ] \iff U \in \mathscr{T_{\sim}}$$ としよう。$\mathscr{T_{\sim}}$ を商位相とし、$( X/ \sim , \mathscr{T_{\sim}} )$ を $\sim$ のもとでの $X$ の商空間と定義する。
4. $A \subset X$ が $x \sim y \iff x,y \in A$ である場合、$X / \sim$ を $X / A$ のように表すことができる。

説明

式が複雑だから、概念でアプローチする必要がある。

異なる二点を同値関係を通して「実質的に同じものとみなす」ことで、「繋げる」という概念が数学的に定義される。このとき同値類が「同じものとみなす基準」になり、ちゃんとした $X$ が $X / \sim$ のようにバラバラになった空間が出現する。

繋げることと関係ない点は $X / \sim$ でバラバラになったとしても $X$ での姿をそのまま保つが、繋げることと関係ある点は $X / \sim$ 内で同じ同値類に属する要素と実質的に同じ点になって、どの点がどの点だったか関係なくなる。

集合論を知っていれば、下の例を通して直感的に理解しよう。

例

線分 → 円

商関数 $q : [0,1] \to [0,1] / \left\{ 0, 1 \right\}$ は線分の両端点を同じものとみなすことで、実質的に円を作ることができる。

正方形 → 球

正方形の全ての辺を一点に集めることで球を作ることができる。ぼうしを束ねて荷物にするプロセスを想像してみて。

正方形 → 円筒 → トーラス

正方形を巻いて円筒形にして、円筒を曲げて端と端を繋げばトーラスになる。

帯 → メビウスの帯

知っての通り、帯の両端を反対方向に繋げると、中央が一回捻れて、表と裏の区別がないメビウスの帯になる。

円筒 → クラインの壺

円筒の端を反対方向に繋げることを想像してみて。直接考えてみればわかるが、円筒を壊さずには不可能なことだ。片方の端を円筒を貫いて、もう片方の端と重ねると、外と内の区別がないクラインの壺になる。