ギブスのエントロピー表現
📂熱物理学ギブスのエントロピー表現
公式
与えられた系のマクロ状態がi番目の状態である確率をPiとしよう。この系で測定されるエントロピーSは、以下のように表すことができる。
S=−kBi∑PilnPi
ここでkBはボルツマン定数だ。
説明
シャノンのエントロピー:離散確率変数Xの確率質量関数がp(x)であるとき、Xのエントロピーを以下のように示す。
H(X):=−∑p(x)log2p(x)
ギブスのエントロピー表現は、確率情報理論などで定義されるシャノンエントロピーと同じ形をしている。
導出
パート1.
熱力学の第1法則:
dU=δQ+δW
エントロピーの定義から、δQ=TdSで、δW=−pdVなので、熱力学第1法則の別の形、以下の式を得る。
dU=TdS−pdV
一方、Uの全微分を考えると、以下のようになる。
dU=∂S∂UdS+∂S∂UdV
両方程式に含まれるdS項だけを比較すれば、以下が成り立つことがわかる。
T=∂S∂U
温度の定義:
kBT1:=dEdln(Ω)
温度の定義に従いkB1∂U∂S=dEdln(Ω)で、エネルギーがU=Eなので、微分方程式を解くと、以下を得る。
S=kBlnΩ
ここでΩは、エネルギーUで区別できる状態の数である。
パート2. Stotal=S+Smicro
パート1によると、簡単に観測できそして識別できる状態の数がXであれば、Sは、以下のように表すことができる。
S=kBlnX
このXの状態がすべて同じYのミクロ状態で構成されるとしたら、そのミクロ状態を直接観測することは不可能でも、エントロピー自体はSmicro=kBlnYとして表すことができる。一方、システム全体は実際にX×Y=XYの状態を持つため、Stotal=kBlnXYであり、これを数式で書けば、観測されたエントロピーとこれに対応するミクロ状態のエントロピーの合計として表すことができる。
Stotal===kBlnXYkBlnX+kBlnYS+Smicro
パート3. Pi
系で起こりうるすべてのミクロ状態の数をNとし、i番目のマクロ状態の数をniとすると、i∑ni=Nである。そうすると、マクロ状態がi番目の状態である確率は、以下のようになる。
Pi:=Nni
パート4.
しかし、ミクロ状態のエントロピーは簡単に計算できないので、確率的な期待値を求めると、以下のようになる。
Smicro=⟨Si⟩=i∑PiSi=i∑PikBlnni
一方、全体システムのエントロピーは、簡単にStotal=kBlnNとして表すことができ、パート2でStotal=S+Smicroであったため
S=Stotal−Smicro=kB(lnN−i∑Pilnni)
この時、lnN=∑iPilnNであるため、以下が成立する。
lnN−i∑Pilnni=i∑Pi(lnN−lnni)=−i∑PilnPi
まとめると、以下の公式を得る。
S=−kBi∑PilnPi
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