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ギブスのエントロピー表現 📂熱物理学

ギブスのエントロピー表現

公式

与えられた系のマクロ状態がii番目の状態である確率をPiP_{i}としよう。この系で測定されるエントロピーSSは、以下のように表すことができる。 S=kBiPilnPi S = - k_{B} \sum_{i} P_{i} \ln P_{i} ここでkBk_{B}ボルツマン定数だ。

説明

シャノンのエントロピー:離散確率変数XXの確率質量関数がp(x)p(x)であるとき、XXエントロピーを以下のように示す。 H(X):=p(x)log2p(x) H(X) := - \sum p(x) \log_{2} p(x)

ギブスのエントロピー表現は、確率情報理論などで定義されるシャノンエントロピーと同じ形をしている。

導出 1

  • パート1.

    熱力学の第1法則dU=δQ+δW d U = \delta Q + \delta W

    エントロピーの定義から、δQ=TdS\delta Q = T dSで、δW=pdV\delta W= - p dVなので、熱力学第1法則の別の形、以下の式を得る。 dU=TdSpdV dU = T dS - p dV
    一方、UU全微分を考えると、以下のようになる。 dU=USdS+USdV dU = {{ \partial U } \over { \partial S }} dS + {{ \partial U } \over { \partial S }} dV 両方程式に含まれるdSdS項だけを比較すれば、以下が成り立つことがわかる。 T=US T = {{ \partial U } \over { \partial S }}

    温度の定義1kBT:=dln(Ω)dE {{1 } \over {k_{B} T}} : = {{ d \ln ( \Omega ) } \over {d E }}

    温度の定義に従い1kBSU=dln(Ω)dE\dfrac{1}{k_{B}} \dfrac{ \partial S }{ \partial U } = \dfrac{ d \ln ( \Omega ) }{ d E }で、エネルギーがU=EU = Eなので、微分方程式を解くと、以下を得る。 S=kBlnΩ S = k_{B} \ln \Omega ここでΩ\Omegaは、エネルギーUUで区別できる状態の数である。

  • パート2. Stotal=S+SmicroS_{\text{total}} = S + S_{\text{micro}}

    パート1によると、簡単に観測できそして識別できる状態の数がXXであれば、SSは、以下のように表すことができる。 S=kBlnX S = k_{B} \ln X このXXの状態がすべて同じYYのミクロ状態で構成されるとしたら、そのミクロ状態を直接観測することは不可能でも、エントロピー自体はSmicro=kBlnYS_{\text{micro}} = k_{B} \ln Yとして表すことができる。一方、システム全体は実際にX×Y=XYX \times Y = XYの状態を持つため、Stotal=kBlnXYS_{\text{total}} = k_{B} \ln XYであり、これを数式で書けば、観測されたエントロピーとこれに対応するミクロ状態のエントロピーの合計として表すことができる。 Stotal=kBlnXY=kBlnX+kBlnY=S+Smicro \begin{align*} S_{\text{total}} =& k_{B} \ln XY \\ =& k_{B} \ln X + k_{B} \ln Y \\ =& S + S_{\text{micro}} \end{align*}

  • パート3. PiP_{i}

    系で起こりうるすべてのミクロ状態の数をNNとし、ii番目のマクロ状態の数をnin_{i}とすると、ini=N\sum \limits_{i} n_{i} = Nである。そうすると、マクロ状態がii番目の状態である確率は、以下のようになる。 Pi:=niN P_{i} := {{n_{i}} \over {N}}

  • パート4.

    しかし、ミクロ状態のエントロピーは簡単に計算できないので、確率的な期待値を求めると、以下のようになる。 Smicro=<Si>=iPiSi=iPikBlnni S_{\text{micro} } = \left< S_{i} \right> = \sum_{i} P_{i} S_{i} = \sum_{i} P_{i} k_{B} \ln n_{i} 一方、全体システムのエントロピーは、簡単にStotal=kBlnNS_{\text{total} } = k_{B} \ln Nとして表すことができ、パート2でStotal=S+SmicroS_{\text{total}} = S + S_{\text{micro}}であったため S=StotalSmicro=kB(lnNiPilnni) S = S_{\text{total} } - S_{\text{micro} } = k_{B} \left( \ln N - \sum_{i} P_{i} \ln n_{i} \right) この時、lnN=iPilnN\ln N = \sum_{i} P_{i} \ln Nであるため、以下が成立する。 lnNiPilnni=iPi(lnNlnni)=iPilnPi \ln N - \sum_{i} P_{i} \ln n_{i} = \sum_{i} P_{i} ( \ln N - \ln n_{i} ) = - \sum_{i} P_{i} \ln P_{i} まとめると、以下の公式を得る。 S=kBiPilnPi S = - k_{B} \sum_{i} P_{i} \ln P_{i}


  1. Stephen J. Blundell and Katherine M. Blundell(2nd Edition, 2014): p150~152. ↩︎