ポアソン分布の平均と分散
📂確率分布論ポアソン分布の平均と分散
数式
X∼Poi(λ) 面
E(X)=λVar(X)=λ
導出
戦略:ポアソン分布の定義から直接演繹する。階乗と級数を分けるトリックが重要だ。
ポアソン分布の定義: λ>0 に対して、次の確率質量関数を持つ離散確率分布 Poi(λ) をポアソン分布という。
p(x)=x!e−λλx,x=0,1,2,⋯
平均
E(X)======x=0∑∞xx!λxe−λe−λx=0∑∞xx!λxe−λx=1∑∞(x−1)!λ⋅λx−1λe−λx=1∑∞(x−1)!λx−1λe−λeλλ
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分散
E(X2)=========x=0∑∞x2x!λxe−λe−λx=1∑∞x(x−1)!λxe−λx=1∑∞(x−1)!(x−1+1)λxe−λx=1∑∞(x−1)!(x−1)λx+λxe−λx=1∑∞{(x−1)!(x−1)λx+(x−1)!λx}e−λ{x=2∑∞(x−2)!λx+x=1∑∞(x−1)!λx}e−λ{x=2∑∞(x−2)!λ2⋅λx−2+x=1∑∞(x−1)!λ⋅λx−1}e−λ(λ2eλ+λeλ)λ2+λ
従って
Var(X)=E(X2)−{E(X)}2=(λ2+λ)−λ2=λ
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