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ディリクレ境界条件が与えられた熱方程式の初期値問題の解 📂偏微分方程式

ディリクレ境界条件が与えられた熱方程式の初期値問題の解

説明

{ut=γuxxu(t,0)=u(t,l)=0u(0,x)=f(x) \begin{cases} u_{t} = \gamma u_{xx} \\ u(t,0) = u(t,l) = 0 \\ u(0,x) = f(x) \end{cases}

この方程式は、長さがllである11次元空間でのディリクレ境界条件の熱方程式から来ています。

{u(t,0)=α(t)u(t,l)=β(t) \begin{cases} u(t,0) = \alpha (t) \\ u(t,l) = \beta (t) \end{cases}

これはα=β=0\alpha = \beta = 0で与えられ、熱分布に対する初期条件がある場合です。このような問題タイプの中で、これは最も簡単で単純な形です。ここでttは時間、xxは位置を表し、u(t,x)u(t,x)は時間tt時の熱の分布を表します。γ\gammaは熱拡散率であり、それが大きいほど分布の変化が速くなります。ffは初期条件で、特にt=0t=0時の熱の分布を表します。

解答

熱方程式の解から続きます。

  • ステップ4. λ\lambdaが固有値かチェック

    解の候補がu(t,x)=e−λtv(X)u(t,x) = e^{-\lambda t} v(X)であるが、ディリクレ境界条件のため、

    e−λtv(0)=e−λtv(l)=0 e^{-\lambda t} v(0) = e^{-\lambda t} v(l) = 0

    従って、非自明解vvがv(0)=v(l)=0v(0) = v(l) = 0を満たすか確認する必要があります。

    • ケース1. λ<0\lambda < 0 ある定数c1,c2∈Cc_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}に対して、

      v(x)=c1e−λγx+c2e−−λγx v(x) = c_{1} e^{ \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } + c_{2 } e^{ - \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x }

      従って、

      v(0)=0  ⟹  c1+c2=0v(l)=0  ⟹  c1e−λγl+c2e−−λγl=0 v(0) = 0 \implies c_{1} + c_{2} = 0 \\ v(l) = 0 \implies c_{1} e^{ \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } l } + c_{2 } e^{ - \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } l } = 0

      これを同時に満たすのはc1=c2=0c_{1} = c_{2} = 0のみです。v(x)=0v(x) = 0なので、vvは自明解となり、λ\lambdaは固有値ではありません。

    • ケース2. λ=0\lambda = 0

      ある定数c1,c2∈Cc_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}に対して、v(x)=c1+c2x\displaystyle v(x) = c_{1} + c_{2} xなので、

      v(0)=0  ⟹  c1=0v(l)=0  ⟹  c1+c2l=0 v(0) = 0 \implies c_{1} = 0 \\ v(l) = 0 \implies c_{1} + c_{2 } l = 0

      これを同時に満たすのはc1=c2=0c_{1} = c_{2} = 0のみです。v(x)=0v(x) = 0なので、vvは自明解となり、λ\lambdaは固有値ではなくなります。

    • ケース4. λ∉R\lambda \notin \mathbb{R}

      λ=reiθ\lambda = r e^{i \theta}で表そう。ある定数c1,c2∈Cc_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}に対して、

      v(x)=c1exp⁡(rγeiθ2x)+c2exp⁡(rγei(θ2+π)x) v(x) = c_{1} \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i {{ \theta } \over {2}} } x \right) + c_{2 } \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i \left( {{ \theta } \over {2}} + \pi\right) } x \right)

      従ってv(0)=v(l)=0v(0) = v(l) = 0から、

      [11exp⁡(rγeiθ2l)exp⁡(rγei(θ2+π)l)][c1c2]=[00] \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i {{\theta} \over {2}} } l \right) & \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i \left( {{\theta} \over {2}} + \pi \right) } l \right) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}

      ここで、

      det⁡[11exp⁡(rγeiθ2l)exp⁡(rγei(θ2+π)l)]=exp⁡(rγei(θ2+π)l)−exp⁡(rγeiθ2l)≠0 \begin{align*} && \det \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i {{\theta} \over {2}} } l \right) & \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i \left( {{\theta} \over {2}} + \pi \right) } l \right) \end{bmatrix} \\ =& \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i \left( {{\theta} \over {2}} + \pi \right) } l \right) - \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i {{\theta} \over {2}} } l \right) \\ &\ne& 0 \end{align*}

      従って、c1=c2=0c_{1} = c_{2} = 0であり、v(x)=0v(x) = 0なので、vvは自明解となり、λ\lambdaは固有値ではありません。

    それで、ケース1.、ケース2.、**ケース4.**ではu(t,x)=0u(t,x) = 0です。

    • ケース3. λ>0\lambda > 0

      ある定数c1,c2∈Cc_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}に対して、

      v(x)=c1ei−λγx+c2e−i−λγx v(x) = c_{1} e^{ i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } + c_{2 } e^{ - i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x }

      従ってv(0)=v(l)=0v(0) = v(l) = 0から、

      [10cos⁡(λγl)sin⁡(λγl)][c1c2]=[00] \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \cos \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) & \sin \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}

      ここで、

      det⁡[10cos⁡(λγl)sin⁡(λγl)]=sin⁡(λγl) \det \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \cos \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) & \sin \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) \end{bmatrix} = \sin \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right)

      即ち、sin⁡(λγl)=0\displaystyle \sin \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) = 0となるλ=λn:=γ(nπl)2\displaystyle \lambda = \lambda_{n} : = \gamma \left( {{n \pi} \over {l}} \right)^2だけが固有値です。**ケース3.ではステップ5.**に進みます。

  • ステップ5.

    un(t,x):=exp⁡(−γn2π2l2t)sin⁡(nπxl)bn:=1l∫−llf(x)sin⁡(nπxl)dx u_{n}(t,x) := \exp \left( - {{\gamma n^2 \pi^2 } \over {l^2}} t \right) \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) \\ b_{n} := {{1 } \over {l}} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) dx とすると、u(t,x):=∑n=1∞bnun(t,X)\displaystyle u(t,x) := \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} u_{n} (t,X)が全てのx∈[0,l]x \in [ 0 , l ]で収束すると仮定しましょう。この解は熱方程式を満たし、ディリクレ境界条件を満たします。展開すると、

    u(t,x)=∑n=1∞<f(x),sin⁡(nπxl)>exp⁡(−γn2π2l2t)sin⁡(nπxl) u(t,x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left< f(x) , \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) \right> \exp \left( - {{\gamma n^2 \pi^2 } \over {l^2}} t \right) \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right)

    t=0t=0の時、

    u(0,x)=∑n=1∞<f(x),sin⁡(nπxl)>sin⁡(nπxl)∼f(x) u(0,x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left< f(x) , \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) \right> \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) \sim f(x)

    従って、収束するならば、初期条件f(x)=u(0,x)f(x) = u(0,x)も満たされます。

■

物理的な感覚で考えると、解答過程でλ\lambdaが正のみ意味をなすのは当然のことです。λ\lambdaは拡散に関する係数であり、これが負になり得るならば、熱力学第二法則に違反する現象が頻発するでしょう。

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