ディリクレ境界条件が与えられた熱方程式の初期値問題の解
説明
$$ \begin{cases} u_{t} = \gamma u_{xx} \\ u(t,0) = u(t,l) = 0 \\ u(0,x) = f(x) \end{cases} $$
この方程式は、長さが$l$である$1$次元空間でのディリクレ境界条件の熱方程式から来ています。
$$ \begin{cases} u(t,0) = \alpha (t) \\ u(t,l) = \beta (t) \end{cases} $$
これは$\alpha = \beta = 0$で与えられ、熱分布に対する初期条件がある場合です。このような問題タイプの中で、これは最も簡単で単純な形です。ここで$t$は時間、$x$は位置を表し、$u(t,x)$は時間$t$時の熱の分布を表します。$\gamma$は熱拡散率であり、それが大きいほど分布の変化が速くなります。$f$は初期条件で、特に$t=0$時の熱の分布を表します。
解答
熱方程式の解から続きます。
ステップ4. $\lambda$が固有値かチェック
解の候補が$u(t,x) = e^{-\lambda t} v(X)$であるが、ディリクレ境界条件のため、
$$ e^{-\lambda t} v(0) = e^{-\lambda t} v(l) = 0 $$
従って、非自明解$v$が$v(0) = v(l) = 0$を満たすか確認する必要があります。
ケース1. $\lambda < 0$ ある定数$c_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}$に対して、
$$ v(x) = c_{1} e^{ \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } + c_{2 } e^{ - \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } $$
従って、
$$ v(0) = 0 \implies c_{1} + c_{2} = 0 \\ v(l) = 0 \implies c_{1} e^{ \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } l } + c_{2 } e^{ - \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } l } = 0 $$
これを同時に満たすのは$c_{1} = c_{2} = 0$のみです。$v(x) = 0$なので、$v$は自明解となり、$\lambda$は固有値ではありません。
ケース2. $\lambda = 0$
ある定数$c_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}$に対して、$\displaystyle v(x) = c_{1} + c_{2} x$なので、
$$ v(0) = 0 \implies c_{1} = 0 \\ v(l) = 0 \implies c_{1} + c_{2 } l = 0 $$
これを同時に満たすのは$c_{1} = c_{2} = 0$のみです。$v(x) = 0$なので、$v$は自明解となり、$\lambda$は固有値ではなくなります。
ケース4. $\lambda \notin \mathbb{R}$
$\lambda = r e^{i \theta}$で表そう。ある定数$c_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}$に対して、
$$ v(x) = c_{1} \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i {{ \theta } \over {2}} } x \right) + c_{2 } \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i \left( {{ \theta } \over {2}} + \pi\right) } x \right) $$
従って$v(0) = v(l) = 0$から、
$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i {{\theta} \over {2}} } l \right) & \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i \left( {{\theta} \over {2}} + \pi \right) } l \right) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$
ここで、
$$ \begin{align*} && \det \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i {{\theta} \over {2}} } l \right) & \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i \left( {{\theta} \over {2}} + \pi \right) } l \right) \end{bmatrix} \\ =& \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i \left( {{\theta} \over {2}} + \pi \right) } l \right) - \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{i {{\theta} \over {2}} } l \right) \\ &\ne& 0 \end{align*} $$
従って、$c_{1} = c_{2} = 0$であり、$v(x) = 0$なので、$v$は自明解となり、$\lambda$は固有値ではありません。
それで、ケース1.、ケース2.、**ケース4.**では$u(t,x) = 0$です。
ケース3. $\lambda > 0$
ある定数$c_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}$に対して、
$$ v(x) = c_{1} e^{ i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } + c_{2 } e^{ - i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } $$
従って$v(0) = v(l) = 0$から、
$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \cos \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) & \sin \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$
ここで、
$$ \det \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \cos \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) & \sin \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) \end{bmatrix} = \sin \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) $$
即ち、$\displaystyle \sin \left( \sqrt{ {{ \lambda } \over {\gamma}} } l \right) = 0$となる$\displaystyle \lambda = \lambda_{n} : = \gamma \left( {{n \pi} \over {l}} \right)^2$だけが固有値です。**ケース3.ではステップ5.**に進みます。
ステップ5.
$$ u_{n}(t,x) := \exp \left( - {{\gamma n^2 \pi^2 } \over {l^2}} t \right) \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) \\ b_{n} := {{1 } \over {l}} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) dx $$とすると、$\displaystyle u(t,x) := \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} u_{n} (t,X)$が全ての$x \in [ 0 , l ]$で収束すると仮定しましょう。この解は熱方程式を満たし、ディリクレ境界条件を満たします。展開すると、
$$ u(t,x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left< f(x) , \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) \right> \exp \left( - {{\gamma n^2 \pi^2 } \over {l^2}} t \right) \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) $$
$t=0$の時、
$$ u(0,x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left< f(x) , \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) \right> \sin \left( {{ n \pi x } \over {l}} \right) \sim f(x) $$
従って、収束するならば、初期条件$f(x) = u(0,x)$も満たされます。
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物理的な感覚で考えると、解答過程で$\lambda$が正のみ意味をなすのは当然のことです。$\lambda$は拡散に関する係数であり、これが負になり得るならば、熱力学第二法則に違反する現象が頻発するでしょう。