放物線の焦点を通る直線が持つ性質
📂幾何学放物線の焦点を通る直線が持つ性質
定理

放物線 y2=4px において、焦点 P(p,0) を通る直線が放物線と交わる二点をそれぞれ A,B とすると、
PA1+PB1=p1
証明
場合 1. a=b
焦点を通る直線が x=p の場合。
PA=PB=2p であるから、
PA1+PB1=2p1+2p1=p1
場合 2. b=a
一般性を失わずに、b>a の場合だけを証明すれば十分である。
A,B から準線に下ろした線分を見ると、以下のように台形を形成していることが分かる。

放物線の定義により PA=p+a そして PB=p+b であり、各線分の長さは上記のように求められる。台形の性質から比例式
4pa:p+a=4pb:p+b
を得る。等式にすると、
(p+b)4pa=(p+a)4pb
で、整理すると
a(p+b)2=b(p+a)2
展開すると
ap2+2abp+ab2=bp2+2bap+ba2⟹(b−a)ab=(b−a)p2
即ち p2=ab である。
====PA1+PB1p+a1+p+b1p2+(a+b)p+ab2p+a+b2p2+(a+b)p2p+a+bp1
従ってどの場合も PA1+PB1=p1 が成立する。
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