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放物線の焦点を通る直線が持つ性質 📂幾何学

放物線の焦点を通る直線が持つ性質

定理

20180510\_011438.png

放物線 y2=4pxy^2 = 4px において、焦点 P(p,0)P(p,0) を通る直線が放物線と交わる二点をそれぞれ A,BA, B とすると、 1PA+1PB=1p {{1} \over {\overline{PA}} } + {{1} \over {\overline{PB}} } = {{1} \over {p}}

証明

場合 1. a=ba=b

焦点を通る直線が x=px = p の場合。

PA=PB=2p\overline{PA} = \overline{PB} = 2p であるから、 1PA+1PB=12p+12p=1p {{1} \over {\overline{PA}} } + {{1} \over {\overline{PB}} } = {{1} \over {2p}} + {{1} \over {2p}}= {{1} \over {p}}


場合 2. bab \ne a

一般性を失わずに、b>ab>a の場合だけを証明すれば十分である。

A,BA,B から準線に下ろした線分を見ると、以下のように台形を形成していることが分かる。

20180510\_011447.png

放物線の定義により PA=p+a\overline{PA} = p + a そして PB=p+b\overline{PB} = p + b であり、各線分の長さは上記のように求められる。台形の性質から比例式 4pa:p+a=4pb:p+b \sqrt{4pa} : p+a = \sqrt{4pb} : p+b を得る。等式にすると、 (p+b)4pa=(p+a)4pb (p+b)\sqrt{4pa} = ( p+a ) \sqrt{4pb} で、整理すると a(p+b)2=b(p+a)2 a (p+b)^2 = b ( p+a )^2 展開すると ap2+2abp+ab2=bp2+2bap+ba2    (ba)ab=(ba)p2 a p^2 + 2 ab p + ab^2 = b p^2 + 2 ba p + ba^2 \implies (b-a) ab = (b-a) p^2 即ち p2=abp^2 = ab である。 1PA+1PB=1p+a+1p+b=2p+a+bp2+(a+b)p+ab=2p+a+b2p2+(a+b)p=1p \begin{align*} & {{1} \over {\overline{PA}} } + {{1} \over {\overline{PB}} } \\ =& {{1} \over {p+a}} + {{1} \over {p+b}} \\ =& {{ 2p + a + b } \over {p^2 + (a+b)p + ab}} \\ =& {{ 2p + a + b } \over {2p^2 + (a+b)p}} \\ =& {{1} \over {p}} \end{align*} 従ってどの場合も 1PA+1PB=1p\displaystyle {{1} \over {\overline{PA}} } + {{1} \over {\overline{PB}} } = {{1} \over {p}} が成立する。