放物線の焦点を通る直線が持つ性質
定理
放物線 $y^2 = 4px$ において、焦点 $P(p,0)$ を通る直線が放物線と交わる二点をそれぞれ $A, B$ とすると、 $$ {{1} \over {\overline{PA}} } + {{1} \over {\overline{PB}} } = {{1} \over {p}} $$
証明
場合 1. $a=b$
焦点を通る直線が $x = p$ の場合。
$\overline{PA} = \overline{PB} = 2p$ であるから、 $$ {{1} \over {\overline{PA}} } + {{1} \over {\overline{PB}} } = {{1} \over {2p}} + {{1} \over {2p}}= {{1} \over {p}} $$
場合 2. $b \ne a$
一般性を失わずに、$b>a$ の場合だけを証明すれば十分である。
$A,B$ から準線に下ろした線分を見ると、以下のように台形を形成していることが分かる。
放物線の定義により $\overline{PA} = p + a$ そして $\overline{PB} = p + b$ であり、各線分の長さは上記のように求められる。台形の性質から比例式 $$ \sqrt{4pa} : p+a = \sqrt{4pb} : p+b $$ を得る。等式にすると、 $$ (p+b)\sqrt{4pa} = ( p+a ) \sqrt{4pb} $$ で、整理すると $$ a (p+b)^2 = b ( p+a )^2 $$ 展開すると $$ a p^2 + 2 ab p + ab^2 = b p^2 + 2 ba p + ba^2 \implies (b-a) ab = (b-a) p^2 $$ 即ち $p^2 = ab$ である。 $$ \begin{align*} & {{1} \over {\overline{PA}} } + {{1} \over {\overline{PB}} } \\ =& {{1} \over {p+a}} + {{1} \over {p+b}} \\ =& {{ 2p + a + b } \over {p^2 + (a+b)p + ab}} \\ =& {{ 2p + a + b } \over {2p^2 + (a+b)p}} \\ =& {{1} \over {p}} \end{align*} $$ 従ってどの場合も $\displaystyle {{1} \over {\overline{PA}} } + {{1} \over {\overline{PB}} } = {{1} \over {p}}$ が成立する。
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